Aufgabe 147
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \sqrt {3{x^2} + 6x - 4}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir setzen an dieser Stelle die Potenzregel als bekannt voraus und wenden uns bei der Erklärung nur mehr der Kettenregel zu. Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die äußere Ableitung und die innere Ableitung bilden.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = \sqrt {3{x^2} + 6x - 4} = {\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)^{\dfrac{1}{2}}};\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot \left( {2 \cdot 3x + 6} \right) = \cr & = \dfrac{{6x + 6}}{{2\sqrt {\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)} }} = \cr & = \dfrac{{6\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)} }} = \cr & = \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)} }} \cr}\)
Wir haben die Potenzregel mehrfach anwendet und an die innere Ableitung der Klammer gemäß der Kettenregel gedacht!
Gemäß der Kettenregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( {g\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( {g\left( x \right)} \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Substitution: | \(u = \left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = {u^{\dfrac{1}{2}}}\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = \dfrac{1}{2}{u^{ - \,\dfrac{1}{2}}}\) |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 4\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = 2 \cdot 3{x^{2 - 1}} + 6 = 6x + 6\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)} }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.