Aufgabe 148
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = 2x \cdot {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir setzen an dieser Stelle die Potenz- und Produktregel als bekannt voraus und wenden uns bei der Erklärung nur mehr der Kettenregel zu. Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die äußere Ableitung und die innere Ableitung bilden.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = 2x \cdot {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2};\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = 2 \cdot {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} + 2x \cdot \left[ {2 \cdot \left( {{x^2} - 2x} \right) \cdot \left( {2x - 2} \right)} \right] = \cr & = 2 \cdot \left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right) + 2x \cdot \left[ {2\left( {{x^2} - 2x} \right) \cdot 2\left( {x - 1} \right)} \right] = \cr & = 2{x^4} - 8{x^3} + 8{x^2} + 8x \cdot \left[ {{x^3} - {x^2} - 2{x^2} + 2x} \right] = \cr & = 2{x^4} - 8{x^3} + 8{x^2} + 8{x^4} - 8{x^3} - 16{x^3} + 16{x^2} = \cr & = 10{x^4} - 32{x^3} + 24{x^2} = \cr & = 2{x^2}\left( {5{x^2} - 16x + 12} \right) \cr}\)
Wir haben die Produktregel angewendet und an die innere Ableitung der Klammer gemäß der Kettenregel gedacht!
Gemäß der Produktregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\, \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \cr}\)
mit:
\(\eqalign{ & u\left( x \right) = 2x;\,\,\,\,\,u'\left( x \right) = 2; \cr & v\left( x \right) = {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2};\,\,\,\,\,v'\left( x \right) = 2 \cdot \left( {{x^2} - 2x} \right) \cdot \left( {2x - 2} \right) \cr}\)
Achtung: Bei v' an die innere Ableitung der Klammer gemäß der Kettenregel denken!
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = 2{x^2}\left( {5{x^2} - 16x + 12} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.