Aufgabe 149
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \sqrt {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir setzen an dieser Stelle die Potenzregel als bekannt voraus und wenden uns bei der Erklärung nur mehr der Kettenregel zu.
\(f(x) = \sqrt {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}}} = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}};} \right)^{\dfrac{1}{2}}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} }} \cdot \left( { - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right) = \cr & = - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} \cdot \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} }} \cr}\)
Wir haben die Kettenregel angewendet:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right); \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr}\)
mit:
Substitution: | \(u = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}};\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = {u^{\dfrac{1}{2}}};\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = \dfrac{1}{2}{u^{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt u }};\) |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}};\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = \dfrac{{1 \cdot \left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};\) |
Wesentlich umständlicher kommt man zum selben Resultat, wenn man nicht die Kettenregel anwendet, sonder wenn man die Quotientenregel konsequent durchrechnet....
\(f(x) = \sqrt {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}}} = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{{\left( {x + 1} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot {{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}} - \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}} \cdot \dfrac{1}{2}{{\left( {x - 1} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}}} \right]}}{{{{\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}} \right]}^2}}} = \cr & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot {{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}} - {{\left( {x + 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}} \cdot {{\left( {x - 1} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}}}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \cr & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}} - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \cr}\)
Wir verkürzen die Schreibweise durch Substitution und vereinfachen:
\(\eqalign{ & a = {\left( {x - 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}};\,\,\,\,\,b = {\left( {x + 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}}; \cr \cr& = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a}}}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{{ab}} - \dfrac{{{b^2}}}{{ab}}}}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{ab}}}}{{\dfrac{{{a^2}}}{1}}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^3}b}} = \cr}\)
Wir kehren zur ausgeschriebenen Form zurück:
\(\eqalign{ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}} \cdot \sqrt {x + 1} }} = \cr & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{x - 1 - x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}} \cdot \sqrt {x + 1} }} = \cr & = - \dfrac{2}{{2\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} \cdot \sqrt {x + 1} }} = \cr & = - \dfrac{1}{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^3} \cdot \left( {x + 1} \right)} }} = \cr & = - \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right) \cdot \sqrt {\left( {x - 1} \right).\left( {x + 1} \right)} }} = \cr & = - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} \cdot \sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right).\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} }} = \cr & = - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}.\sqrt {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}}} }}; \cr}\)
Diesmal haben wir die Quotientenregel angewendet:
Gemäß der Regel zum Differenzieren von Quotienten (Brüchen) gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
mit:
\(\eqalign{ & u\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}};\,\,\,\,\,u'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {x + 1} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}}; \cr & v\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}};\,\,\,\,\,v'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {x - 1} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}}; \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} \cdot \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.