Aufgabe 168
Differenzieren von Winkelfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \sin \left( {{x^2}} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Winkelfunktionen an.
Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die äußere Ableitung und die innere Ableitung bilden.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = sin\left( {{x^2}} \right)\)
\(f'\left( x \right) = \cos \left( {{x^2}} \right) \cdot 2x = 2x \cdot \cos \left( {{x^2}} \right)\)
Wir haben die Kettenregel angewendet:
Gemäß der Kettenregel beim Differenzieren gilt:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right)\\ f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \end{array}\)
mit:
Substitution: | \(u = {x^2};\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = \sin u;\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = \cos u;\) |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = {x^2};\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = 2x;\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = 2x \cdot \cos \left( {{x^2}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.