Aufgabe 190
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {e^{\left( {ax} \right)}} \cdot {e^{\left( {bx} \right)}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Exponentialfunktionen an. Wir machen uns zudem nicht mit der Produktregel "unglücklich" sondern fassen die beiden Exponentialfunktionen zusammen, da diese ja die selbe Basis "e" haben.
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}}; \cr & {a^r}:{a^s} = \dfrac{{{a^r}}}{{{a^{}}}} = {a^{r - s}}; \cr}\)
\(f(x) = {e^{\left( {ax} \right)}} \cdot {e^{\left( {bx} \right)}} = {e^{\left( {a + b} \right)x}}\)
\(f'\left( x \right) = \left( {a + b} \right) \cdot {e^{\left( {a + b} \right)x}}\)
Die Regel für das Differenzieren von Exponentialfunktionen lautet:
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & y' = f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \left( {a + b} \right) \cdot {e^{\left( {a + b} \right)x}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.