Aufgabe 202
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt x }}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Quotienten an.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt x }} \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( { - 1} \right).\sqrt x - \left[ {\left( {1 - x} \right).\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right]}}{x} = \cr & = \dfrac{{ - \sqrt x - \left[ {\dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{x}{{2\sqrt x }}} \right]}}{x} = \cr & = \dfrac{{ - \sqrt x - \left[ {\dfrac{{1 - x}}{{2\sqrt x }}} \right]}}{x} = \dfrac{{ - \dfrac{{2x}}{{2\sqrt x }} - \left[ {\dfrac{{1 - x}}{{2\sqrt x }}} \right]}}{x} = \cr & = \dfrac{{\dfrac{{ - 2x - 1 + x}}{{2\sqrt x }}}}{x} = \dfrac{{\dfrac{{ - x - 1}}{{2\sqrt x }}}}{{\frac{x}{1}}} = \cr & = \dfrac{{ - x - 1}}{{2x\sqrt x }} \cr}\)
Wir haben die Quotientenregel angewendet.
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Quotienten (Brüche) gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr} \)
mit:
\(u\left( x \right) = 1 - x\) | \(u'\left( x \right) = 1\) |
\(v\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}}\) | \(v\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^{ - \,\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt x }}\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - x - 1}}{{2x\sqrt x }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.