Aufgabe 216
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{x} = \dfrac{{{e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}}}}{x}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
- 1. Teilaufgabe: Wende die Quotientenregel an
- 2. Teilaufgabe: Schreibe f(x) als Produkt an und wende die Produktregel an
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Exponentialfunktionen an.
1. Teilaufgabe:
Wir erarbeiten uns das Vorgehen beim Differenzieren schrittweise:
1. Nebenrechnung:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^x}\\ f'\left( x \right) = {e^x} \end{array}\)
2. Nebenrechnung:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^{2x}}\\ f'\left( x \right) = {e^{2x}} \cdot 2 \end{array}\)
3. Nebenrechnung:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^{\dfrac{1}{2}}}\\ f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot {x^{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} \end{array}\)
4. Nebenrechnung
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^{\sqrt x }} = {e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}}\\ f'\left( x \right) = {e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}} \cdot \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }} \end{array}\)
Nach all den Vorbereitungen, lösen wir nun die eigentliche Aufgabe mittels der Quotientenregel:
\(f\left( x \right) = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{x} = \dfrac{{{e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}}}}{x}\)
\(f\left( x \right) = {e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}}\) | \(f'\left( x \right) = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2 \cdot \sqrt x }}\) |
\(g\left( x \right) = x\) | \(g'\left( x \right) = 1\) |
somit:
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{\frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2 \cdot \sqrt x }} \cdot x - {e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}} \cdot 1}}{{{x^2}}} = \cr & = \dfrac{{\frac{{x \cdot {e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }}}}{{{x^2}}} - \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{\dfrac{{x \cdot {e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }}}}{{\dfrac{{{x^2}}}{1}}} - \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{{x^2}}} = \cr & = \dfrac{{x \cdot {e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x \cdot {x^2}}} - \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{{x^2}}} = {e^{\sqrt x }}\left( {\dfrac{1}{{2x\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) = \cr} \)
... man kann sich hier mit dem herausheben noch etwas austoben, etwa wie folgt:
\(\eqalign{ & = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{{x^2}}}\left( {\dfrac{x}{{2\sqrt x }} - \dfrac{2}{2}} \right) = \cr & = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2{x^2}}} \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right) \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Wir erarbeiten uns das Vorgehen beim Differenzieren schrittweise:
1. Nebenrechnung:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^x}\\ f'\left( x \right) = {e^x} \end{array}\)
2. Nebenrechnung:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^{2x}}\\ f'\left( x \right) = {e^{2x}} \cdot 2 \end{array}\)
3. Nebenrechnung:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^{\dfrac{1}{2}}}\\ f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot {x^{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} \end{array}\)
4. Nebenrechnung
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^{\sqrt x }} = {e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}}\\ f'\left( x \right) = {e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}} \cdot \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }} \end{array}\)
Nach all den Vorbereitungen, lösen wir nun die eigentliche Aufgabe mittels der Produktregel:
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cdot {e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}}\)
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) | \(f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\) |
\(g\left( x \right) = {e^{\sqrt x }} = {e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}}\) | \(g'\left( x \right) = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2 \cdot \sqrt x }}\) |
somit:
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right).\left( {{e^{{x^{\frac{1}{2}}}}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{x}} \right) \cdot \left( {\dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2 \cdot \sqrt x }}} \right) = \cr & \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2 \cdot x \cdot \sqrt x }} - \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{{x^2}}} = {e^{\sqrt x }}\left( {\frac{1}{{2x\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) = \cr} \)
... man kann sich hier mit dem herausheben noch etwas austoben, etwa wie folgt:
\(\eqalign{ & = \dfrac{{x \cdot {e^{\sqrt x }}}}{{2 \cdot {x^2} \cdot \sqrt x }} - \dfrac{{2 \cdot {e^{\sqrt x }}}}{{2 \cdot {x^2}}} = \cr & = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2{x^2}}} \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right) \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = {e^{\sqrt x }}\left( {\dfrac{1}{{2x\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) = = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2{x^2}}} \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 2 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt