Additionstheoreme für Winkelfunktionen
Formel
Additionstheoreme für Winkelfunktionen
Die Additionstheoreme vereinfachen das Rechnen mit Summen bzw. Differenzen von zwei Winkeln oder Summen bzw. Differenzen von zwei Winkelfunktionen
1. Summensatz Winkelfunktionen
Mit Hilfe des 1. Summensatzes kann man Winkelfunktionen, deren Argumente Summen oder Differenzen sind, in Winkelfunktionen mit einfachen Argumenten umrechnen.
\(\eqalign{ & \sin \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \cr & \cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \cr & \tan \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha \cdot \tan \beta }} \cr & \cot \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \dfrac{{\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}}{{\cot \alpha \pm \cot \beta }} \cr}\)
2. Summensatz Winkelfunktionen
Mit Hilfe des 2. Summensatzes kann man Summen oder Differenzen von Winkelfunktionen auf Produkte von Winkelfunktionen umrechnen.
\(\begin{array}{l} \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \cdot \sin \dfrac{{\alpha \pm \beta }}{2} \cdot \cos \dfrac{{\alpha \mp \beta }}{2};\\ \cos \alpha \pm \cos \beta = \pm 2 \cdot \cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \dfrac{{\alpha - \beta }}{2};\\ \tan\alpha \pm \tan \beta = \dfrac{{\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }};\\ \cot \alpha \pm \cot \beta = \dfrac{{\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right)}}{{\sin \alpha \cdot \sin \beta }} \end{array}\)
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Wissenspfad
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Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.