Aufgabe 6004
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Polynomfunktion 3. Grades
Gegeben ist die Funktion f mit
\(f\left( x \right) = {x^3} - 6 \cdot {x^2} + 11 \cdot x - 6{\text{ und }}x \in {\Bbb R}\)
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.
Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt (2 | 0) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (3 | 2). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie eine Gleichung von h an.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Für den Wendepunkt muss generell gelten:
\(\eqalign{ & f''\left( {{x_{WP}}} \right) = 0 \cr & f'''\left( {{x_{WP}}} \right) \ne 0 \cr} \)
Wir bestimmen daher den Wendepunkt der gegebenen Funktion durch zweifaches Ableiten und anschließendes Nullsetzen von f(x):
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^3} - 6 \cdot {x^2} + 11 \cdot x - 6 \cr & f'\left( x \right) = 3 \cdot {x^2} - 6 \cdot 2 \cdot x + 11 \cr & f''\left( x \right) = 3 \cdot 2 \cdot x - 12 \cr & f''\left( x \right) = 0 \to 6x - 12 = 0 \to 6x = 12 \to {x_{WP}} = 2 \cr & f'''\left( x \right) = 6 \ne 0 \cr & \cr & f(x = 2) = {2^3} - 6 \cdot {2^2} + 11 \cdot 2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0 \to {y_{WP}} = 0 \cr & WP(2|0) \cr} \)
Nun prüfen wir durch Einsetzen der x bzw. y-Werte, ob der Wendepunkt die gegebene Geradengleichung erfüllt, denn nur dann liegt der WP der Funktion auf der Geraden:
\(\eqalign{ & WP(2|0) \cr & y = x - 2 \cr & {y_{WP}} = {x_{WP}} - 2 \cr & 0 = 2 - 2 = 0\,\,\,\,\,{\text{wzbw}} \cr} \)
→ Da der Wendepunkt die Geradengleichung erfüllt, liegt er auf der gegebenen Geraden.
2. Teilaufgabe:
Wenn aus dem Punkt (2|0) der Punkt (3|2) wird, dann wurde die Funktion um
\(\eqalign{ & \Delta x = 1 \cr & \Delta y = 2 \cr} \)
verschoben.
Die Verschiebung um 1 in x-Richtung berücksichtigen wir durch:
\(x \to \left( {x - 1} \right)\)
Somit:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^3} - 6 \cdot {x^2} + 11 \cdot x - 6 \cr & {h_{\Delta x = 1}}\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3} - 6 \cdot {\left( {x - 1} \right)^2} + 11 \cdot \left( {x - 1} \right) - 6 \cr} \)
Die zusätzliche Verschiebung um 2 in y-Richtung berücksichtigen wir durch:
\({h_{\Delta x = 1}} \to {h_{\Delta x = 1}} + 2\)
Somit:
\(\eqalign{ & {h_{\Delta x = 1}}\left( x \right) + 2 = {\left( {x - 1} \right)^3} - 6 \cdot {\left( {x - 1} \right)^2} + 11 \cdot \left( {x - 1} \right) - 6 + 2 \cr & h\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3} - 6 \cdot {\left( {x - 1} \right)^2} + 11 \cdot \left( {x - 1} \right) - 4 \cr} \)
Die gesuchte Gleichung von h lautet:
\(h\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3} - 6 \cdot {\left( {x - 1} \right)^2} + 11 \cdot \left( {x - 1} \right) - 4\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Da der Wendepunkt die Geradengleichung erfüllt, liegt er auf der gegebenen Geraden.
2. Teilaufgabe:
\(h\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3} - 6 \cdot {\left( {x - 1} \right)^2} + 11 \cdot \left( {x - 1} \right) - 4\)