Aufgabe 1091
AHS - 1_091 & Lehrstoff: AG 3.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normale Vektoren
Gegeben ist der Vektor \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 4} \end{array}} \right)\)
- Aussage 1: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1} \\ { - 4} \end{array}} \right)\)
- Aussage 2: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ { - 8} \end{array}} \right)\)
- Aussage 3: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ { - 1} \end{array}} \right)\)
- Aussage 4: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4} \\ { - 1} \end{array}} \right)\)
- Aussage 5: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8 \\ 2 \end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Welche der nachstehend angegebenen Vektoren sind zu \(\overrightarrow a\) normal? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
2 Vektoren stehen im rechter Winkel zueinander bzw. sind sie genau dann zueinander normal, wenn für sie das Orthogonalitätskriterium (Skalarprodukt der beiden Vektoren ist Null) gilt.
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \cr & {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0; \cr}\)
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 4} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ { - 4} \end{array}} \right) = 1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = - 1 + 16 = 15 \ne 0\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 4} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right) = 1 \cdot 2 + \left( { - 4} \right) \cdot 3 = 2 - 12 = - 10 \ne 0\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 4} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 1} \end{array}} \right) = 1 \cdot 4 + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 4 + 4 = 8\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 4} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ { - 1} \end{array}} \right) = 1 \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = - 4 + 4 = 0\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 4} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 2 \end{array}} \right) = 1 \cdot 8 - \left( { - 4} \right) \cdot 2 = 8 - 8 = 0\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.