Aufgabe 1115
AHS - 1_115 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadrat
A, B, C und D sind Eckpunkte des unten abgebildeten Quadrates, M ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
- Aussage 1: \(C = A + 2 \cdot \overrightarrow {AM}\)
- Aussage 2: \(B = C + \overrightarrow {AD}\)
- Aussage 3: \(M = D - \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow {DB}\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MB} = 0\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Bei der 1., 2. und 3. Aussage
stellen wir uns die Vektoren so wie Wege vor, die wir entlangschreiten können. Wenn der Endpunkt vom Weg, gemäß Ausgangspunkt und dem Vektor auf der rechten Seite, ident mit dem Punkt auf auf der linken Seite der Gleichung ist, dann entspricht die Gleichung einer wahren Aussage.
Bei der 4. und der 5. Aussage
müssen wir das Orthogonalitätskriterium prüfen, demzufolge das skalare Produkt zweier Vektoren dann null ist, wenn die beiden Vektoren im rechten Winkel auf einander stehen.
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil wenn man vom Punkt A aus die doppelte Entfernung von \(\overrightarrow {AM}\) entlang geht, kommt man zum Punkt C
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil wenn man vom Punkt C aus in Richtung von \(\overrightarrow {AD}\) geht, so entfernt man sich vom Punkt B. Die Aussage wäre richtig für: \(B = C - \overrightarrow {AD}\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil wenn man vom Punkt D aus in die halbe entgegengesetzte Richtung von \(\overrightarrow {DB}\) geht, so entfernt man sich vom Punkt M. Die Aussage wäre richtig für: \(M = D + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow {DB}\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil in einem Quadrat die Vektoren \(\overrightarrow {AM}\) und \(\overrightarrow {MB}\) im rechten Winkel auf einander stehen und ihr Skalarprodukt daher null ist.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil in einem Quadrat die Vektoren \(\overrightarrow {AB}\) und \(\overrightarrow {AC}\) in einem Winkel von 45° auf einander stehen und ihr Skalarprodukt daher ungleich null ist
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.