Aufgabe 1116
AHS - 1_116 & Lehrstoff: AG 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Winkelfunktionen
Gegeben ist das Intervall [0°; 360°].
Aufgabenstellung:
Nennen Sie alle Winkel α im gegebenen Intervall, für die gilt: sin α = cos α .
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Winkelfunktionen am Einheitskreis
-
Die Ordinate (der y-Wert) eines beliebigen Punktes am Einheitskreis heißt Sinus des Winkels α.
-
Die Abszisse (der x-Wert) eines beliebigen Punktes am Einheitskreis heißt Cosinus des Winkels α.
Lösungsweg
Damit sin α = cos α gilt, müssen der Gegenkathete und die Ankathete ein gleichschenkeliges Dreieck bilden. Damit sowohl sin α als auch cos α zusätzlich noch das gleiche Vorzeichen (beide + oder beide -) haben, kommen nur folgende 2 Winkel in Frage:
\(\eqalign{ & {\alpha _1} = 45^\circ {\text{ oder }}{\alpha _1} = \dfrac{\pi }{4} \cr & {\alpha _2} = 225^\circ {\text{ oder }}{\alpha _2} = \dfrac{{5\pi }}{4} \cr} \)
Anmerkung: Bei den beiden anderen Winkel, die ebenfalls Vielfache von 45° sind, hätten sinus und cosinus entgegengesetzte Vorzeichen. Sie kommen daher als Lösung nicht in Frage.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & {\alpha _1} = 45^\circ {\text{ oder }}{\alpha _1} = \dfrac{\pi }{4} \cr & {\alpha _2} = 225^\circ {\text{ oder }}{\alpha _2} = \dfrac{{5\pi }}{4} \cr}\)
Lösungsschlüssel:
Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn beide Werte (egal ob im Grad- oder Bogenmaß) richtig angegeben sind.