Aufgabe 1298
AHS - 1_298 & Lehrstoff: AG 3.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normalvektoren
Gegeben sind die beiden Vektoren \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 1} \end{array}} \right)\)und \(\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {2x} \end{array}} \right)\)im \({{\Bbb R}^2}{\text{ mit }}x \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Unbekannte x so, dass die beiden Vektoren a und b normal aufeinander stehen!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Orthogonalitätskriterium
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \cr & {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0; \cr}\)
Lösungsweg
2 Vektoren stehen im rechter Winkel zueinander bzw. sind sie genau dann zueinander normal, wenn für sie das Orthogonalitätskriterium (Skalarprodukt der beiden Vektoren ist Null) gilt.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \bot \overrightarrow b {\rm{ wenn }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 1} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {2x} \end{array}} \right) = 0\\ 6 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 2x = 0\\ 6 - 2x = 0\\ 6 = 2x\\ x = \dfrac{6}{2} = 3 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
x=3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Zahlenwert angegeben ist.