Aufgabe 1785
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vektoren
In der nachstehenden Abbildung sind die vier Punkte P, Q, R und S sowie die zwei Vektoren \(\overrightarrow u {\text{ und }}\overrightarrow v \) dargestellt:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Vektoren jeweils den entsprechenden Ausdruck (aus A bis F) zu.
- 1. Vektor: \(\overrightarrow {PQ} \)
- 2. Vektor:\(\overrightarrow {PR} \)
- 3. Vektor: \(\overrightarrow {QR} \)
- 4. Vektor: \(\overrightarrow {PS} \)
- Ausdruck A: \(2 \cdot \overrightarrow u - \overrightarrow v \)
- Ausdruck B: \(2 \cdot \overrightarrow v - \overrightarrow u \)
- Ausdruck C: \( - \overrightarrow v \)
- Ausdruck D: \(2 \cdot \overrightarrow v + \overrightarrow u \)
- Ausdruck E: \(2 \cdot \overrightarrow u \)
- Ausdruck F: \(2 \cdot \overrightarrow u + 2 \cdot \overrightarrow v \)
[0 / ½ / 1 Punkt]
Lösungsweg
Indem wir die Kästchen zählen und beim Vorzeichen berücksichtigen ob wir uns in oder gegen die Richtung der jeweiligen Koordinatenachse bewegen, entnehmen wir folgende Werte aus der Illustration:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 1} \end{array}} \right) \end{array}\)
Weiters entnehmen wir aus der Illustration:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 4 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {PR} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 5 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {QR} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}\\ 1 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {PS} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {13}\\ 0 \end{array}} \right) \end{array}\)
Wir rechnen nun die Ausdrücke A bis F aus indem wir für \(\overrightarrow u {\rm{ und }}\overrightarrow v \) einsetzen und vergleichen jeweils, welchem der 4 gegebenen Vektoren das Resultat entspricht:
- Ausdruck A:
\(2 \cdot \overrightarrow u - \overrightarrow v = 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {6 - 5}\\ {4 + 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 5 \end{array}} \right) = \overrightarrow {PR} = 2.{\rm{ Vektor}}\)
- Ausdruck B:
\(2 \cdot \overrightarrow v - \overrightarrow u = 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 1} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10 - 3}\\ { - 2 - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 0 \end{array}} \right)\)
- Ausdruck C:
\( - \overrightarrow v = - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}\\ 1 \end{array}} \right) = \overrightarrow {QR} = {\rm{3}}{\rm{. Vektor}}\)
- Ausdruck D:
\(2 \cdot \overrightarrow v + \overrightarrow u = 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 1} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10 + 3}\\ { - 2 + 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {13}\\ 0 \end{array}} \right) = \overrightarrow {PS} = {\rm{4}}{\rm{. Vektor}}\)
- Ausdruck E:
\(2 \cdot \overrightarrow u = 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 4 \end{array}} \right) = \overrightarrow {PQ} = {\rm{1}}{\rm{. Vektor}}\)
- Ausdruck F:
\(2 \cdot \overrightarrow u + 2 \cdot \overrightarrow v = 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {6 + 10}\\ {4 - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {16}\\ 2 \end{array}} \right)\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- 1. Vektor: Ausdruck E
- 2. Vektor: Ausdruck A
- 3. Vektor: Ausdruck C
- 4. Vektor: Ausdruck D
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Vektoren ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist. Bei zwei oder drei richtigen Zuordnungen ist ein halber Punkt zu geben.