Aufgabe 1013
AHS - 1_013 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lokale Extrema
Von einer Polynomfunktion f dritten Grades sind die beiden lokalen Extrempunkte E1 = (0|–4) und E2 = (4|0) bekannt.
- Aussage 1: \(f\left( 0 \right) = - 4\)
- Aussage 2: \(f'\left( 0 \right) = 0\)
- Aussage 3: \(f\left( { - 4} \right) = 0\)
- Aussage 4: \(f'\left( 4 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f''\left( 0 \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Welche Bedingungen müssen in diesem Zusammenhang erfüllt sein? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
Über ein allgemeines Polynom 3. Grades wissen wir:
- 1, 2, oder 3 NST
- 0 oder 2 Extremstellen
- 1 Wendestelle
- typischer Graph verläuft s-förmig
- an der Stelle, wo f(x) eine Extremstelle hat, hat f'(x) eine Nullstelle
- \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und f'''}}\left( {{x_0}} \right) \ne 0 \to f\left( {{x_0}} \right){\text{ hat einen Wendepunkt}}\)
Wir fassen obiges Wissen in einer Illustration wie folgt zusammen:
\(\eqalign{ & f\left( {x = 0} \right) = - 4 \leftrightarrow {E_1} = TP = \left( {0\left| { - 4} \right.} \right) \Rightarrow f'\left( {x = 0} \right) = 0 \leftrightarrow NST\left( {0\left| 0 \right.} \right) \cr & f\left( {x = 4} \right) = 0 \leftrightarrow {E_2} = HP = \left( {4\left| 0 \right.} \right) \Rightarrow f'\left( {x = 4} \right) = 0 \leftrightarrow NST\left( {4\left| 0 \right.} \right) \cr} \)
Somit können wir die Aussagen bewerten:
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil wie folgt gilt: \({E_1}\left( {0\left| { - 4} \right.} \right) \to f\left( {x = 0} \right) = - 4\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil an der Stelle wo f(x) eine Extremstelle (TP) hat, muss die 1. Ableitung f'(x) eine Nullstelle haben und somit muss \(f'\left( 0 \right) = 0\) gelten. Man sieht dass die Tangente an einer Extremstelle horizontal sein muss und somit an dieser Stelle k=0 bzw die 1. Ableitung = 0 sein muss.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil wie wir der Skizze entnehmen können, links vom TP noch eine 3. NST liegen muss (der HP ist gleichzeitig eine doppelte NST). Dass diese 3. NST aber ausgerechnet an der Stelle x=-4 liegt, wäre reiner Zufall.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil an der Stelle wo f(x) eine Extremstelle (HP) hat, muss die 1. Ableitung f'(x) eine Nullstelle haben und somit muss \(f'\left( 4 \right) = 0\) gelten. Man sieht dass die Tangente an einer Extremstelle horizontal sein muss und somit an dieser Stelle k=0 bzw die 1. Ableitung = 0 sein muss.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil wissen, dass f(x) an der Stelle x=0 einen TP hat. Dass die 2. Ableitung an dieser Stelle null ist - \(f''\left( 0 \right) = 0\) - wäre eine Indikation für eine Wendestelle von f(x). Wir wissen aber dass an dieser Stelle ein TP ist, daher kann dort nicht gleichzeitig ein WP sein.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt dann als richtig gelöst, wenn genau die drei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.