Aufgabe 1174
AHS - 1_174 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Freier Fall eines Körpers
Die Funktion s mit \(s\left( t \right) = \dfrac{g}{2} \cdot {t^2}{\text{ mit }}g \approx 10\dfrac{m}{{{s^2}}}\) s beschreibt annähernd den von einem Körper in der Zeit t (in Sekunden) im freien Fall zurückgelegten Weg s(t) (in m).
- Aussage 1: Die erste Ableitung s‘ der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t1.
- Aussage 2: Die zweite Ableitung s‘‘ der Funktion s an der Stelle t1 beschreibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1.
- Aussage 3: Der Differenzenquotient der Funktion s im Intervall [t1; t2] gibt den in diesem Intervall zurückgelegten Weg an.
- Aussage 4: Der Differenzialquotient der Funktion s an einer Stelle t gibt den Winkel an, den die Tangente an den Graphen im Punkt P = (t |s(t)) mit der positiven x-Achse einschließt.
- Aussage 5: Der Differenzenquotient der Funktion s‘ im Intervall [t1; t2] gibt die mittlere Änderung der Geschwindigkeit pro Sekunde im Intervall [t1; t2] an.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir kennen den Zusammenhang zwischen den physikalischen Größen Weg s - Geschwindigkeit v - Beschleunigung a wie folgt:
\(\eqalign{ & s\left( t \right) \cr & s'\left( t \right) = v\left( t \right) \cr & s''\left( t \right) = v'\left( t \right) = a\left( t \right) \cr} \)
Wichtig ist folgender Zusammenhang: Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate an und errechnet sich aus der 1. Ableitung. Im Unterschied zum Differenzenquotient, welcher die mittlere Änderungsrate beschreibt.
Ein feiner Unterschied liegt im Wort „Rate“:
- Eine Änderung entspricht mathematisch gesehen einer Differenz: \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)\)
- Eine Änderungsrate entspricht mathematisch gesehen einem Quotienten:
- für einen Mittelwert: \(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)
- für einen Momentanwert: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{t_1} \to {t_0}} \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{t_1} - {t_0}}}\)
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil die 1. Ableitung eines Weges nach der Zeit grundsätzlich der Momentangeschwindigkeit entspricht. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t1 an und errechnet sich aus der 1. Ableitung s‘ von s(t).
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil die 2. Ableitung eines Weges nach der Zeit, bzw. die 1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit (also die Änderungsrate der Geschwindigkeit) grundsätzlich der Momentanbeschleunigung entspricht.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil der Differenzenquotient immer die mittlere Änderungsrate - in diesem Fall vom zurückgelegten Weg - angibt. Physikalisch gesehen handelt es sich also um eine Geschwindigkeit und nicht um einen Weg: \(\dfrac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \dfrac{{s\left( {{t_2}} \right) - s\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}} = \dfrac{{{\text{Meter}}}}{{{\text{Sekunde}}}}\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil der Differentialquotient die Steigung k der Tangente und nicht den Winkel \(\alpha \) der Tangente angibt. Natürlich kann man sich aus der Steigung k den Winkel mit Hilfe vom arctan ausrechnen.
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Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil der Differenzenquotient immer die mittlere Änderungsrate - in diesem Fall vom zurückgelegten Weg - angibt. Physikalisch gesehen handelt es sich also um eine Geschwindigkeit.
Ergebnis
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.