Aufgabe 1384
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Freier Fall
Der Weg, den ein Stein im freien Fall zurücklegt, kann näherungsweise durch den funktionalen Zusammenhang \(s\left( t \right) = 5 \cdot {t^2}\) beschrieben werden. Dabei wird die Fallzeit t in Sekunden und der in dieser Zeit zurückgelegte Weg s(t) in Metern gemessen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s), die der Stein nach einer Fallzeit von t = 2 Sekunden hat!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Rufen wir uns zunächst den Zusammenhang zwischen den physikalischen Größen "s .. Weg", "v .. Geschwindigkeit" und "a .. Beschleunigung" ins Gedächtnis:
- s= (Entfernung zum Endpunkt) minus (Entfernung zum Anfangspunkt)
- \(v = \dfrac{{ds}}{{dt}}\) Geschwindigkeit ist die Änderung des Weges in der Zeit
- \(a = \dfrac{{dv}}{{dt}} = \dfrac{{{d^2}s}}{{d{t^2}}}\) Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit in der Zeit oder die 2. Ableitung des Weges nach der Zeit
Gemäß obigen Zusammenhängen gilt:
\(s\left( t \right) = 5 \cdot {t^2}\)
\(v\left( t \right) = \dfrac{{ds\left( t \right)}}{{dt}} = s'\left( t \right) = \dfrac{{d\left( {5 \cdot {t^2}} \right)}}{{dt}} = {\left( {5 \cdot {t^2}} \right)^\prime } = 2 \cdot 5 \cdot t = 10 \cdot t\)
somit:
\(v\left( {t = 2} \right) = 10 \cdot t = 10 \cdot 2 = 20\dfrac{m}{s}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(v\left( 2 \right) = 20\dfrac{m}{s}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Die Angabe der Einheit ist dabei nicht erforderlich.