Aufgabe 1406
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion
In der folgenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f dargestellt:
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die erste Ableitung der Funktion f ist ___1___ , und daraus folgt: ___2___ .
1 | |
im Intervall [–1; 1] negativ | A |
im Intervall [–1; 1] gleich null | B |
im Intervall [–1; 1] positiv | C |
2 | |
f hat im Intervall [–1; 1] eine Nullstelle | I |
f ist im Intervall [–1; 1] streng monoton steigend | II |
f hat im Intervall [–1; 1] eine Wendestelle | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Merkhilfe: NEW-Regel:
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
f(x) | N | E | W | ||
f'(x) | N | E | W | ||
f''(x) | N | E | W |
Lösungsweg
- Aus der Tatsache, dass f(x) an der Stelle x=0 eine NST hat, können wir gemäß der NEW Regel nichts für f'(x) schließen, das hilft uns also nicht weiter.
- Im Intervall [–1; 1] ist die gegebene Funktion f(x) streng monoton steigend → in diesem Intervall muss die 1. Ableitung f'(x) > 0 - also positiv - sein. Somit haben wir die Lösung gefunden.
- Aus der Tatsache, dass f(x) an der Stelle x=0 eine Wendestelle hat, können wir zwar gemäß der NEW Regel schließen, dass f'(x) an dieser Stelle eine Extremstelle (HP oder TP) hat, aber das entspricht keiner der gegebenen Optionen.
Mit Hilfe von GeoGebra können wir den Zusammenhang zwischen f(x) und f'(x) wie folgt visualisieren:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die erste Ableitung der Funktion f ist im Intervall [–1; 1] positiv, und daraus folgt: f ist im Intervall [–1; 1] streng monoton steigend.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.