Aufgabe 1455
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften der Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion 3. Grades
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.
- Aussage 1: Die Funktionswerte der Funktion f′ sind im Intervall (0; 2) negativ.
- Aussage 2: Die Funktion f′ ist im Intervall (–1; 0) streng monoton steigend.
- Aussage 3: Die Funktion f′ hat an der Stelle x = 2 eine Wendestelle.
- Aussage 4: Die Funktion f′ hat an der Stelle x = 1 ein lokales Maximum.
- Aussage 5: Die Funktion f′ hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle.
Aufgabenstellung:
Welche der obigen Aussagen treffen auf die Ableitungsfunktion f‘ der Funktion f zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Ableitungsfunktion f‘ von f: Die Ableitung f‘(x) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f in den jeweiligen Punkten (x|f(x)) an.
- Streng monoton steigend: Eine Funktion g ist im Intervall \(( - 1;0)\) genau dann streng monoton steigend, wenn für alle \({x_1},{x_2} \in ( - 1;0)\)mit \({x_1} < {x_2}\) gilt, dass \(g({x_1}) < g({x_2})\)
- Wendestelle: Der Punkt x heißt Wendestelle von g genau dann, wenn \(g''(x) = 0\)
- Lokales Maximum: Ist für jeden Punkt y in einer beliebig kleinen Umgebung um x der Funktionswert \(g(y) \leqslant g(x)\), dann ist x ein lokales Maximum der Funktion g.
- Nullstelle: x ist eine Nullstelle der Funktion g genau dann, wenn \(g(x) = 0\)a
Lösungsweg
Man kann die Ableitungsfunktion f‘ der Funktion f im Diagramm mit Bleistift einzeichnen. Folgende Fixpunkte können dabei helfen:
- Die Steigung der Tangente in den Punkten (0|4) und (2|0) ist 0 (f‘(0)=f‘(2)=0). Dadurch können wir die Punkte (0|0) und (2|0) als Punkte des Graphen der Ableitungsfunktion festlegen.
- Aus dem Graph der Funktion f ist erkennbar, dass die Steigung der Tangente im Punkt (1|2) negativ ist (f‘(1)<0).
- Die Funktion f‘ muss eine Polynomfunktion 2. Grades sein und jede Polynomfunktion 2. Grades ist symmetrisch. Das heißt im Punkt (1|f‘(1)) muss ein lokales Minimum sein (weil die beiden Nachbarpunkte x=0 und x=2 Nullstellen sind und symmetrisch liegen
- Aussage 1: Richtig, weil die Funktion f(x) im Intervall (0;2) streng monoton fallend ist und daher die Steigung der Tangente in diesem Intervall negativ ist, sind auch die Funktionswerte von f'(x) in diesem Interfall negativ (also unterhalb der x-Achse)
- Aussage 2: Falsch, weil , weil wir anhand des Graphen erkennen können, dass die Steigung der Funktion f im Punkt -1 am größten ist. Danach nimmt die Steigung der Funktion f im Intervall (-1; 0) ab (an der Stelle x=0 ist die Steigung 0). Somit ist die Ableitungsfunktion f‘ nicht streng monoton steigend, sondern im Gegenteil streng monoton fallend.
- Aussage 3: Falsch, weil die Ableitungsfunktion f‘ einer Polynomfunktion 3. Grades keine Wendestelle besitzen kann. f‘ ist nämlich dann eine Polynomfunktion 2. Grades. Ebenso gemäß NEW-Regel: Da f(x=2) eine Extremstelle ist, muss die Ableitungsfunktion f'(x=2) eine Nullstelle sein.haben
- Aussage 4: Falsch, weil gemäß der NEW-Regel an der Stelle eines Wendepunkts von f(x) es einen Extremwert für f'(x) geben muss, dieser aber kein Maximum sondern ein Minimum ist. Diese Tatsache können wir anhand des Graphen von f feststellen. Im Intervall (0;2) ist die Ableitung f' im Punkt x=1 am kleinsten, da die Funktion f in diesem Punkt am stärksten fällt.
- Aussage 5: Richtig, weil gemäß NEW-Regel gilt: f(x=0) hat ein Maximum daher hat f'(x=0) eine Nullstelle. Ebenso gilt: Die Tangente an f im Punkt (x=0) ist waagrecht, daher muss die Ableitung f' in diesem Punkt eine Nullstelle haben.
Der mathematische Beweis zu Aussage 3:
Seien dazu \(a \ne 0,b,c,d \in {\Bbb R}\) und \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), dann erhalten wir für die Ableitungsfunktion \(g(x): = f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\). Von dieser Funktion soll nun die zweite Ableitung an der Stelle x=2 gleich 0 sein:
\(\eqalign{ & g(x) = 3a{x^2} + 2bx + c \cr & g'(x) = 2 \cdot 3ax + 2b = 6ax + 2b \cr & g''(x) = 6a \cr}\)
Somit ist \(g''(2) = 6a \ne 0\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Aussagen angekreuzt sind.