Aufgabe 1602
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Radioaktiver Zerfall
Der Wert m(t) bezeichnet die nach t Tagen vorhandene Menge eines radioaktiven Stoffes.
- Aussage 1: \(m\left( 3 \right) - m\left( 0 \right)\)
- Aussage 2: \(\dfrac{{m\left( 3 \right) - m\left( 0 \right)}}{3}\)
- Aussage 3: \(\dfrac{{m\left( 0 \right)}}{{m\left( 3 \right)}}\)
- Aussage 4: \(\dfrac{{m\left( 3 \right) - m\left( 0 \right)}}{{m\left( 0 \right)}}\)
- Aussage 5: \(\dfrac{{m\left( 3 \right) - m\left( 0 \right)}}{{m\left( 0 \right) - m\left( 3 \right)}}\)
- Aussage 6: \(m'\left( 3 \right)\)
Aufgabenstellung:
Einer der obenstehend angeführten Ausdrucke beschreibt die relative Änderung der Menge des radioaktiven Stoffes innerhalb der ersten drei Tage. Kreuzen Sie den zutreffenden Ausdruck an!
Lösungsweg
Wir nach der Aussage, die die relative Änderung von m(t) beschreibt, die also folgende Form haben muss:
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}}\)
- Aussage 1: Falsch, weil dieser Term die absolute Änderung beschreibt
- Aussage 2: Falsch, weil dieser Term nicht auf den Grundwert m(0) bezogen ist (=Wert in Nenner) sondern auf den (willkürlichen) Wert "3"
- Aussage 3: Falsch, weil dieser Term im Zähler nicht die Differenz vom End- zum Anfangswert abbildet. (m(3)-m(0))
- Aussage 4: Richtig, weil dieser Term der Definition von der relativen Änderung entspricht: \(\dfrac{{m\left( 3 \right) - m\left( 0 \right)}}{{m\left( 0 \right)}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}}\)
- Aussage 5: Falsch, weil dieser Term nicht auf den Grundwert m(0) bezogen ist
- Aussage 6: Falsch, weil die 1. Ableitung von "m an der Stelle 3" nichts mit der relativen Änderung zu tun hat. (Die 1. Ableitung von "m an der Stelle 3" gibt die "Steigung der Tangente an der Graphen der Funktion m(t) an der Stelle 3" an)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Ausdruck angekreuzt ist.