Aufgabe 1603
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung
Gegeben sind sechs Funktionsgleichungen mit einem Parameter k, wobei \(k \in {\Bbb Z}{\text{ und k}} \ne {\text{0}}\)
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = k\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = \dfrac{k}{x}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = k \cdot x\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = {x^k}\)
- Aussage 5: \(f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}}\)
- Aussage 6: \(f\left( x \right) = \sin \left( {k \cdot x} \right)\)
Aufgabenstellung:
Für welche der gegebenen Funktionsgleichungen gilt der Zusammenhang \(f'\left( x \right) = k \cdot f\left( x \right)\) für alle \(x \in {\Bbb R}\)? Kreuzen Sie die zutreffende Funktionsgleichung an!
Lösungsweg
Die 1. Ableitung \(f'\left( x \right)\) einer der 6 gegebenen Funktionen soll gleich lauten, wie die mit k multiplizierte Funktion f(x) aus der jeweiligen Angabe. Wir differenzieren alle 6 Funktionen und prüfen dann, bei welcher der 6 Aussagen der gesuchte Zusammenhang \(f'\left( x \right) = k \cdot f\left( x \right)\) zwischen der 1. Ableitung und der Funktion selbst besteht.
- Aussage 1: Falsch, weil \(f\left( x \right) = k \to f'\left( x \right) = 0\)
- Aussage 2: Falsch, weil \(f\left( x \right) = \dfrac{k}{x} \to {\rm{Reziprokenregel}} \to f'\left( x \right) = - k\dfrac{1}{{{x^2}}} = - \dfrac{k}{{{x^2}}}\)
- Aussage 3: Falsch, weil \(f\left( x \right) = k \cdot x \to f'\left( x \right) = k\)
- Aussage 4: Falsch, weil \(f\left( x \right) = {x^k} \to f'\left( x \right) = k \cdot {x^{k - 1}}\)
- Aussage 5: Richtig, weil \(f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}} \to {\rm{Exponetialfunktion}} \to f'\left( x \right) = k \cdot {e^{k \cdot x}}\)
- Aussage 6: Falsch, weil \(f\left( x \right) = \sin \left( {k \cdot x} \right) \to {\rm{innere Ableitung}} \to {\rm{f'}}\left( x \right) = k \cdot \cos \left( {k \cdot x} \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Funktionsgleichung angekreuzt ist.