Aufgabe 1822
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fläche zwischen Graph und x-Achse
Gegeben ist eine Potenzfunktion \(f:\left[ {0;15} \right] \to {{\Bbb R}^ + }\). Der Inhalt A derjenigen Flache, die vom Graphen von f, von der x-Achse und von den beiden Geraden x = 0 und x = 15 begrenzt wird, kann durch den nachstehenden Ausdruck U näherungsweise berechnet werden.
\(U = 5 \cdot \left( {f\left( 0 \right) + f\left( 5 \right) + f\left( {10} \right)} \right)\)
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph von f und – rot markiert – die Flache, deren Inhalt durch den Ausdruck U berechnet wird, dargestellt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, mit denen der Flächeninhalt A besser als mit dem Ausdruck U angenähert werden kann.
- Aussage 1: \(5 \cdot \left( {f\left( 0 \right) + f\left( 5 \right) + f\left( {10} \right) + f\left( {15} \right)} \right)\)
- Aussage 2: \(2,5 \cdot \left( {f\left( 0 \right) + f\left( {2,5} \right) + f\left( 5 \right) + f\left( {7,5} \right) + f\left( {10} \right) + f\left( {12,5} \right)} \right)\)
- Aussage 3: \(\int\limits_0^{15} {f\left( x \right)\,\,dx} \)
- Aussage 4: \(f\left( 0 \right) \cdot 15\)
- Aussage 5: \(f\left( {15} \right) \cdot 5\)
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Den gegebenen Ausdruck bezeichnet man als Untersumme. Bei der Untersumme wählt man den niedersten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.
- Aussage 1: Falsch, weil zur gegebenen Untersumme bestehend aus 3 Rechtecken noch ein 4. Rechteck dazu kommt, welches seinerseits der Summand zur Untersumme für den gar nicht mehr betrachteten Bereich zwischen 15 und 20 ist.
- Aussage 2: Richtig, weil der Ausdruck ebenfalls eine Untersumme ist, die Funktion aber mit 6 statt mit nur 3 Rechtecken viel genauer annähert
- Aussage 3: Richtig, weil das Integral der Funktion zwischen 0 und 15 die Fläche unter der Funktion sogar exakt angibt
- Aussage 4: Falsch, weil der Ausdruck zwar ebenfalls eine Untersumme ist aber die Funktion mit nur 1 Rechteck (2 Kästchen hoch und 15 Kästchen breit) viel zu klein annähert.
- Aussage 5: Falsch, weil dieser Ausdruck eine Obersumme, aber lediglich für den Teilbereich zwischen 10 und 15 ist.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Ausdrücke angekreuzt sind.