Aufgabe 1846
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der 1. Ableitungsfunktion f′ einer Polynomfunktion f dargestellt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf die Funktion f auf jeden Fall zutreffen.
- Aussage 1: Im Intervall [–3; 3] ist die Funktion f streng monoton steigend.
- Aussage 2: Der Graph von f ist im Intervall [–3; 3] symmetrisch zur senkrechten Achse.
- Aussage 3: Die Funktion f hat im Intervall [–3; 3] mindestens eine Wendestelle.
- Aussage 4: Im Intervall [–3; 3] sind alle Funktionswerte von f positiv.
- Aussage 5: Die Funktion f hat im Intervall [–3; 3] mindestens eine lokale Extremstelle.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig, weil f‘(x) oberhalb der x-Achse verläuft, muss f(x) streng monoton steigen verlaufen.
- Aussage 2: Falsch, damit der Graph von f(x) symmetrisch zur y-Achse verläuft müsste f‘(x) eine ungerade Funktion, also punktsymmetrisch zum Ursprung sein, was aber nicht der Fall ist. Weiters haben wir bei der 1. Aussage festgestellt, dass f(x) streng monoton steigend verlaufen muss und daher nicht symmetrisch zur x-Achse sein kann.
- Aussage 3: Richtig, weil die Funktion f‘(x) an der Stelle x=0 einen Hochpunkt hat, muss f(x) an dieser Stelle einen Wendepunkt haben, (in dem die Tangente k>0, also steigend ist).
- Aussage 4: Falsch, weil f(x) die Stammfunktion von f‘(x) ist. Bei der Bildung der Stammfunktion kommt aber eine Integrationskonstante dazu welche die Stammfunktion entlang der y-Achse verschiebt , und diese Integrationskonstante kann sicher auch so gewählt werden, dass die Stammfunktion f(x) auch negative Werte annimmt.
- Aussage 5: Falsch, weil f‘(x) im betrachteten Intervall keine Nullstelle besitzt (NEW-Regel)
Nachfolgende Skizze dient der Veranschaulichung der Zusammenhänge:
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.