Aufgabe 1847
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wasserzufluss
Ein Behälter wird innerhalb von 6 Minuten mit Wasser befüllt. Die Zuflussrate gibt an, wie viel Liter Wasser pro Minute in den Behälter zufließen. Dabei nimmt die Zuflussrate Z(t) in Abhängigkeit von der Zeit t linear ab. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion Z dargestellt (t in Minuten, Z(t) in Litern pro Minute). Die gekennzeichneten Punkte haben ganzzahlige Koordinaten.
Aufgabenstellung
Berechnen Sie, wie viele Liter Wasser in diesen 6 Minuten in den Behälter zufließen.
Liter =
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Laut Aufgabenstellung müssen wir aufsummieren, wie viel Wasser im Laufe der 6 Minuten in den Behälter geflossen ist. „Aufsummieren“ setzen wir „Integrieren“ gleich und das Integral entspricht dabei der Fläche zwischen der linearen Funktion und der x-Achse.
Variante „Einfach“:
Da in dieser Aufgabe f(x) eine lineare Funktion und deren Graph somit eine Gerade ist, kann man die Flächenberechnung auch ohne Integral, rein geometrisch durchführen:
Wir können die Fläche durch ein Dreieck und ein Rechteck abbilden. Die dafür benötigten Flächenformeln sollte man wirklich auswendig können:
\(F(x) = A = {A_{{\text{Dreick}}}} + {A_{{\text{Rechteck}}}} = \left( {10 \cdot \dfrac{6}{2}} \right) + \left( {15 \cdot 6} \right) = 120\)
oder:
Die Fläche vom Trapez berechnet sich aus der halben Summe der Längen beiden Grundseiten mal deren Parallelabstand (also der Höhe)
\(F\left( x \right) = {A_{{\text{Trapez}}}} = \dfrac{{25 + 15}}{2} \cdot 6 = 120\)
→ In 6 Minuten fließen 120 l Wasser in den Behälter.
Variante „Allgemein“:
Die Lösung ist für diesen Spezialfall sehr einfach zu finden. Allgemeiner, aber in diesem Fall wesentlich aufwendiger, ist es die Lösung mittels bestimmten Integral zu bilden.
Im 1. Schritt suchen zunächst die unbekannte Funktion. Die Parameter der lineare Funktion können wir direkt aus der Grafik ablesen zu:
\(\eqalign{ & k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{15 - 25}}{{6 - 0}} = - \dfrac{{10}}{6} \cr & d = 25 \cr & f(x) = - \dfrac{{10}}{6}x + 25 \cr} \)
Nun kennen wir die Funktionsgleichung und können im 2. Schritt das entsprechende bestimmte Integral zwischen den Grenzen 0 und 6 berechnen:
\(\begin{array}{l} F(x) = \int\limits_{x = 0}^{x = 6} {f\left( x \right)} \,\,dx = \int\limits_0^6 {\left( { - \dfrac{5}{3}x + 25} \right)} \,\,dx = \\ = - \dfrac{5}{6} \cdot {x^2} + 25x\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 0 \end{array}} \right. = \left( { - \dfrac{5}{6}*36 + 25*6} \right) - \left( 0 \right) = 120 \end{array}\)
→ In 6 Minuten fließen 120 l Wasser in den Behälter.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Es fließen 120 Liter Wasser zu.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Berechnen.