Aufgabe 1866
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Abkühlung
Die differenzierbare Funktion T ordnet der Zeit t ≥ 0 die Temperatur T(t) eines Körpers zu (t in h, T(t) in °C). Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen dieser Funktion T.
Es gilt: T‘(1) = –15.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: Zum Zeitpunkt t = 2 ist die momentane Änderungsrate der Temperatur des Körpers kleiner als –15 °C/h.
- Aussage 2: Die Temperatur des Körpers ist eine Stunde nach Beginn des Abkühlungsprozesses um 15 °C niedriger als zum Zeitpunkt t = 0.
- Aussage 3: Zum Zeitpunkt t = 1 betragt die momentane Änderungsrate der Temperatur des Körpers –15 °C/h.
- Aussage 4: Es gilt: \(\dfrac{{T\left( 3 \right) - T\left( 1 \right)}}{2} > - 15\)
- Aussage 5: Im Verlauf der ersten Stunde betragt die durchschnittliche Abkühlungsgeschwindigkeit des Körpers 15 °C/h.
Lösungsweg
Achtung: Alle Steigungen, Tangente und Sekanten die in diesem Beispiel relevant sind, sind negativ. Für negative Zahlen gilt aber, dass die Zahl mit dem größeren Betrag, die kleinere absolute Zahl ist! Z.B.: -15 < -6
- Aussage 1: Falsch. Die momentane Änderungsrate der Steigung der Tangente, entspricht \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) . Wenn wir die Steigung der Tangente an der Stelle t=1 mit jener an der Stelle t=2 vergleichen, dann sehen wir, dass die Tangente an der Stelle t=1 steiler abfällt, während die Tangente an der Stelle t=2 weniger steil abfällt. Wenn also lt. Angabe \(\Delta y\left( {t = 1} \right) = - 15\) dann ist z.B.: \(\Delta y\left( {t = 2} \right) = - 6\). Da wir aber im Bereich der negativen Zahlen sind gilt: -6 ist größer als -15. Zum Zeitpunkt t = 2 ist die momentane Änderungsrate der Temperatur des Körpers größer als –15 °C/h (z.B.: -6°C/h)
- Aussage 2: Falsch, weil die Temperatur zum Zeitpunkt t=0 um mehr als 15°C größer gewesen sein muss, als die Temperatur zum Zeitpunkt t=1. Die Tangente in t=1 an den Graphen der Funktion schneidet die y-Achse nämlich unterhalb der Funktion.
- Aussage 3: Richtig, weil die momentane Änderungsrate der Temperatur der 1. Ableitung entspricht und diese lt. Angabe T‘(1) = –15 beträgt.
- Aussage 4: Richtig, weil der Differenzenquotient im Zeitintervall [1;3] der Sekante an die Funktion in den Punkten (1|T(t=1)) und (3|T(t=3)) entspricht. Es gilt die Logik von Aussage 1: Die Sekante ist flacher als die Tangente in (1|T(t=1). Daher ist die Steigung der Sekante größer als die Steigung der Tangente.
- Aussage 5: Falsch, weil der Körper zunächst schnell und dann immer langsamer auskühlt. Daher muss der Körper während der ganzen 1. Stunde – also im Intervall \(t \in \left[ {0;1} \right]\) - im Durchschnitt stärker ausgekühlt sein, als am Zeitpunkt zum Ende des Intervalls, wo die momentane Abkühlgeschwindigkeit T‘(t=1)=10°C/h beträgt.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- 1. Aussage: Falsch
- 2. Aussage: Falsch
- 3. Aussage: Richtig
- 4. Aussage: Richtig
- 5. Aussage: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.