Aufgabe 1048
AHS - 1_048 & Lehrstoff: FA 1.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften erkennen
Gegeben ist die Funktion f mit \(f\left( x \right) = {x^3} - 2x + 3\)
- Aussage 1: Die Funktion f ist an jeder Stelle monoton fallend.
- Aussage 2: Die Funktion f besitzt kein lokales Maximum.
- Aussage 3: Der Graph der Funktion f geht durch P = (0|3).
- Aussage 4: Eine Skizze des Graphen der Funktion f könnte wie folgt aussehen:
- Aussage 5: Eine Skizze des Graphen der Funktion f könnte wie folgt aussehen:
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie in nachstehender Tabelle die beiden für die Funktion f zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil für "monoton fallend" \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) gelten muss. Es ist aber \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2 \to f'\left( 1 \right) = 3 \cdot 1 - 2 = 1 > 0\) Mit diesem einen Gegenbeispiel haben wir bewiesen, dass die Funktion nicht monoton fallend sein kann
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil für das "lokale Maximum" gilt \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) und da diese Bedingungen auch erfüllt sind, gibt es sehrwohl ein lokales Minimum
\(\eqalign{ & \left( x \right) = {x^3} - 2x + 3 \cr & f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2 = 0 \cr & 3{x^2} = 2 \cr & x = \pm \sqrt {\frac{2}{3}} \cr & f''\left( x \right) = 6x \cr & f''\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = 6 \cdot \sqrt {\frac{2}{3}} > 0 \Rightarrow {\text{lokales Minimum}} \cr & f'\left( { - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = - 6 \cdot \sqrt {\frac{2}{3}} < 0 \Rightarrow {\text{lokales Maximum}} \cr} \)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil \(f\left( 0 \right) = 3\) und \(P\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right) = P\left( {0\left| {f\left( 0 \right)} \right.} \right) = P\left( {0\left| 3 \right.} \right)\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil eine Polynomfunktion 3. Grades mit "positivem" x3 immer von links unten nach rechts oben verläuft.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil eine Polynomfunktion 3. Grades mit "negativem" x3, also -x3 immer von links oben nach rechts unten verläuft, die gegebene Funktion aber ein "+" vor dem x3 hat.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.