Aufgabe 1136
AHS - 1_136 & Lehrstoff: FA 2.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Modellierung mittels linearer Funktionen
Reale Sachverhalte können durch eine lineare Funktion \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) mathematisch modelliert werden.
- Aussage 1: Der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der Zeit bei einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von 30 km/h
- Aussage 2: Die Einwohnerzahl einer Stadt in Abhängigkeit von der Zeit, wenn die Anzahl der Einwohner/innen in einem bestimmten Zeitraum jährlich um 3 % wächst
- Aussage 3: Der Flächeninhalt eines Quadrates in Abhängigkeit von der Seitenlänge
- Aussage 4: Die Stromkosten in Abhängigkeit von der verbrauchten Energie (in kWh) bei einer monatlichen Grundgebühr von € 12 und Kosten von € 0,4 pro kWh
- Aussage 5: Die Fahrzeit in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit für eine bestimmte Entfernung
Aufgabenstellung:
In welchen Sachverhalten ist eine Modellierung mittels einer linearen Funktion sinnvoll möglich? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Sachverhalte an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Für jede der 5 Aussagen müssen wir prüfen, ob sich die abhängige Variable y(x) durch Umformung in Form einer linearen Funktion vom Typ \(y(x) = k \cdot x + d\) anschreiben lässt.
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil bei konstanter Geschwindigkeit (v=c) folgende lineare Funktion für den zurückgelegten Weg s gilt: \(v = \dfrac{s}{t} \to s\left( {v,t} \right) = v \cdot t{\text{ mit v = c: }}s\left( t \right) = c \cdot t\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil wir - analog zur Formel für die Zinseszinsrechnung - eine Potenzfunktion anschreiben müssen: \(E{Z_E}\left( {q,n} \right) = E{Z_A} \cdot {q^n}{\text{ mit q = 0}}{\text{,03 und n = Anz}}{\text{. der Jahre}}\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil die Fläche eines Quadrats vom Quadrat der Seitenlänge abhängt: \({\text{A}}\left( s \right){\text{ = s}}{\text{.s = }}{{\text{s}}^2}\), , also eine Potenzfunktion vorliegt
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil wir für die Stromkosten K folgende lineare Kostenfunktion (aus fixen und variablen Kosten) anschreiben können: \(K\left( E \right) = {K_f} + {K_v}\left( E \right) + {K_f} = 12 + E \cdot 0,4\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil für eine bestimmte Entfernung s=c folgende indirekt proportionale Funktion für die Zeit handelt: \(v = \dfrac{s}{t} \to t(s,v) = \dfrac{s}{v}{\text{ mit t}}\left( v \right) = \dfrac{c}{v}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.