Aufgabe 1145
AHS - 1_145 & Lehrstoff: FA 5.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktion
Gegeben ist eine reelle Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {e^{\lambda \cdot x}}\) mit \(a \in {\mathbb{R}^ + }{\text{ und }}\lambda \in \mathbb{R}\)
- Aussage 1: \(f'\left( x \right) = a \cdot \lambda \cdot {e^{\lambda \cdot x}}\)
- Aussage 2: Für a > 0 sind alle Funktionswerte negativ.
- Aussage 3: Die Funktion f hat mindestens eine reelle Nullstelle.
- Aussage 4: Die Funktion f schneidet die y-Achse bei (0|a).
- Aussage 5: Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn λ < 0 und a ≠ 0 ist
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Die Konstanten oder Faktoren Regel beim Differenzieren lautet: \(c \cdot f\left( x \right) \to c \cdot f'\left( x \right)\)
Natürliche Exponentialfunktion - Interaktive Illustration zeigt die Wirkung von \(\lambda\) und von N0 auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler \(\lambda\): Entscheidet über Wachstum oder Zerfall
- Regler N0: Entscheidet über Startwert
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Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil gemäß der Konstantenregel beim Differenzieren wie folgt gilt: \(f\left( x \right) = a \cdot {e^{\lambda \cdot x}} \to f'\left( x \right) = a \cdot \lambda \cdot {e^{\lambda \cdot x}}\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil wenn \(\lambda \cdot x > 0\) handelt es sich um exponetielles Wachstum, bei \(\lambda \cdot x < 0\) handelt es sich um exponetiellen Zerfall. In beiden Fällen verläuft der Graph der Funktion nur im Bereich der positiven y-Achse. Die x-Achse ist die Assymptote, aber es gibt keine negativen Funktionswerte
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil sich die Exponentialfunktion der x-Achse asymptotisch annähert, aber nie schneidet, also keine Nullstellen besitzt
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil \(f\left( x \right) = a \cdot {e^{\lambda \cdot x}} \to f\left( {x = 0} \right) = a \cdot {e^{\lambda \cdot 0}} = a \cdot 1 = a\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {e^{\lambda \cdot x}};\,\,\,\,\,f\left( {x + 1} \right) = a \cdot {e^{\lambda \cdot \left( {x + 1} \right)}} \cr & \lambda = - 1;\,\,\,\,\,e = 2,718 \cr & f\left( x \right) = \frac{a}{{{e^x}}};\,\,\,\,\,f\left( {x + 1} \right) = \frac{a}{{{e^{x + 1}}}} \cr & {\text{Nenner }} \uparrow \Rightarrow {\text{Bruch}} \downarrow \cr & f\left( x \right) > f\left( {x + 1} \right) \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.