Aufgabe 1155
AHS - 1_155 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit von Felbamat
Zur Behandlung von Epilepsie wird oft der Arzneistoff Felbamat eingesetzt. Nach der Einnahme einer Ausgangsdosis D0 nimmt die Konzentration D von Felbamat im Körper näherungsweise exponentiell mit der Zeit ab. Für D gilt folgender funktionaler Zusammenhang: \(D\left( t \right) = {D_0} \cdot {0,9659^t}\) Dabei wird die Zeit t in Stunden gemessen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Halbwertszeit von Felbamat! Geben Sie die Lösung auf Stunden gerundet an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Die Dosis zur Halbwertszeit beträgt: \(\dfrac{{{D_0}}}{2}\)
- Logarithmenregel für Potenzen: \(\ln \left( {{c^x}} \right) = x \cdot \ln \left( c \right)\) Der Logarithmus einer Potenz, ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis.
Lösungsweg
Wir setzen die Dosis zur Halbwertszeit \(\dfrac{{{D_0}}}{2}\) ein und berechnen das zugehörige t wie folgt:
\(\eqalign{ & D\left( t \right) = {D_0} \cdot {0,9659^t} \cr & \dfrac{{{D_0}}}{2} = {D_0} \cdot {0,9659^t}\,\,\,\,\,\left| {:{D_0}} \right. \cr & \dfrac{1}{2} = {0,9659^t}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \left( {0,5} \right) = t \cdot \ln \left( {0,9659} \right)\,\,\,\,\,\left| : \right.\ln \left( {0,9659} \right) \cr & t = \dfrac{{ln\left( {0,5} \right)}}{{\ln \left( {0,9659} \right)}} \approx 20 \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
t=20 Stunden
Lösungsschlüssel:
1 Punkt für die richtige Lösung