Aufgabe 1247
AHS - 1_247 & Lehrstoff: FA 1.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Symmetrie
Gegeben ist eine Potenzfunktion der Form \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z} + b\) mit \({\text{a}} \ne {\text{0}}{\text{, b}} \in \mathbb{R}{\text{, z}} \in \mathbb{Z}{\text{\ }}\left\{ 0 \right\}\)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Falls z eine _____1_____ ist, ist der Graph von f immer symmetrisch _____2______ .
1 | |
gerade Zahl | A |
ungerade Zahl | B |
negative Zahl | C |
2 | |
zur x-Achse | I |
zur y-Achse | II |
zur 1. Mediane | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Gerade Funktion
\(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\)
Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse.
Beispiel für gerade Funktionen:
- die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n gerade}}\)
Ungerade Funktion
\(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\)
Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.
Beispiele für ungerade Funktionen:
- die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n ungerade}}\)
Lösungsweg
Für gerade Funktionen wissen wir, dass sie symmetrisch zur y-Achse sind. Potenzfunktionen sind gerade Funktionen, wenn die Potenz (in diesem Fall „z“) eine gerade Zahl ist. Merkhilfe: Gerade Funktion - gerade Potenz
- Aussage A: Diese Aussage macht Sinn, da gerade Funktionen symmetrisch zur y-Achse sind
- Aussage B: Diese Aussage ist nicht weiter zu verfolgen, denn eine ungerade Hochzahl führt zu einer ungeraden Funktion und die ist symmetrisch zum Ursprung
- Aussage C: Diese Aussage ist nicht weiter zu verfolgen, denn für negative gerade Hochzahlen ist die Funktion gerade während sie für negative ungerade Hochzahlen ungerade ist.
Falls z eine gerade Zahl ist, ist der Graph von f immer symmetrisch zur y-Achse .
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Falls z eine gerade Zahl ist, ist der Graph von f immer symmetrisch zur y-Achse .
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige Satzteil angekreuzt ist.