Aufgabe 1262
AHS - 1_262 & Lehrstoff: FA 2.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Celsius - Fahrenheit
Temperaturen werden bei uns in °C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist die Messung in °F (Fahrenheit) üblich. Zwischen der Temperatur x in °C und der Temperatur f(x) in °F besteht folgender Zusammenhang: \(f\left( x \right) = \dfrac{9}{5} \cdot x + 32\)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die Temperatur in °C und jene in °F sind zueinander ______1_______ , da ______2_______ .
1 | |
direkt proportional | A |
indirekt proportional | B |
nicht proportional | C |
2 | |
es beispielsweise bei 320 °F genau halb so viele °C hat | I |
eine Erwärmung auf z. B. dreimal so viele °C weder bedeutet, dass die Temperatur auf dreimal so viele °F ansteigt, noch dass sie auf ein Drittel absinkt | II |
eine Zunahme um 1 °C immer eine Erwärmung um gleich viele °F bedeutet | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Bei proportionalen Funktionen müssen wir zwischen
- direkt proportionalen Funktionen vom Typ \(f\left( x \right) = k \cdot x\) und
- indirekt proportionalen Funktionen vom Typ \(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\)
unterscheiden.
Lösungsweg
Zunächst analysieren wir die Aussage A, B und C:
- Aussage A: Diese Aussage ist falsch, weil direkt proportionale Funktionen vom Typ \(f\left( x \right) = k \cdot x\) sind.
- Aussage B: Diese Aussage ist falsch, weil indirekt proportionale Funktionen vom Typ \(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\) sind
- Aussage C: Diese Aussage ist richtig, weil es sich nicht um eine proportionale (sondern um eine lineare Funktion vom Typ \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) ) handelt.
Nun analysieren wir die Aussage I, II und III:
- Aussage I: Diese Aussage ist falsch, obwohl \(320 = \dfrac{9}{5} \cdot x + 32 \to 288 = \dfrac{9}{5} \cdot x \to x = 160^\circ C\) zwar stimmt, kann man aus dieser punktuellen Aussage nicht auf den weitern Verlauf der Funktion (proportional, indirekt proportional, linear) schließen.
- Aussage II: Diese Aussage ist richtig, weil für eine nicht proportionale Funktion (gemäß Aussage C)
- dreimal so viel °C korrekter Weise nicht bedeutet, dass dies auch zu dreimal so viele °F führt
- dreimal so viel °C korrekter Weise nicht bedeutet, dass dies auch zu einem Dreittel so wenigen °F führt.
- Aussage III: Diese Aussage ist falsch, weil \(f(x + 1) = \dfrac{9}{5} \cdot \left( {x + 1} \right) + 32 = \dfrac{9}{5} \cdot x + \frac{9}{5} + 32 = \dfrac{9}{5} \cdot x + 32 + \dfrac{9}{5} = f\left( x \right) + \dfrac{9}{5}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Temperatur in °C und jene in °F sind zueinander nicht proportional, da eine Erwärmung auf z. B. dreimal so viele °C weder bedeutet, dass die Temperatur auf dreimal so viele °F ansteigt, noch dass sie auf ein Drittel absinkt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige Satzteil angekreuzt ist.