Aufgabe 1313
AHS - 1_313 & Lehrstoff: FA 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionswerte
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f vierten Grades.
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Für alle reellen Werte _____1______ gilt für die Funktionswerte dieser Funktion f _____2______ .
1 | |
\(x > 6\) | A |
\(x \in \left[ { - 1;1} \right]\) | B |
\(x \in \left[ {1;5} \right]\) | C |
2 | |
\(f\left( x \right) > 3\) | I |
\(f\left( x \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) | II |
\(f\left( x \right) \in \left[ {0;3} \right]\) | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir prüfen für jede der 3 Aussagen A, B und C ob die Aussagen I, II oder III für alle Werte zutrifft, oder ob wir 1 Punkt nennen können, an dem die Aussage I, II oder III nicht zutrifft.
Lösungsweg
- Aussage A: \(x > 6\)
- Die Aussage I ist falsch, weil \(f\left( x \right) > 3\) zwar für alle sichtbaren y-Werte der Fall, aber man sieht, das der Graph der Funktion, wenn man ihn für x>10 verlängert, rasch unter y=3 fällt. Die Aussage A muss aber für alle f(x)>3 gelten.
- Die Aussage II ist falsch, weil zB f(x=7)=6 gilt, wodurch das Intervall \(f\left( x \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) verletzt wird.
- Die Aussage III ist falsch, weil zB (f(x=7)=6 gilt, wodurch das Intervall \(f\left( x \right) \in \left[ {0;3} \right]\) verletz wird
- Aussage B: \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\)
- Die Aussage I ist falsch, weil zB f(x=0)=2 gilt und somit \(f\left( x \right) > 3\) nicht erfüllt ist.
- Die Aussage II ist falsch, weil zB f(x=0)=2 gilt, wodurch das Intervall \(f\left( x \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) verletzt wird.
- Die Aussage III ist falsch, weil zB f(x=-1)=-1,5 gilt, wodurch das Intervall \(f\left( x \right) \in \left[ {0;3} \right]\) verletzt wird,
- Aussage C: \(x \in \left[ {1;5} \right]\)
- Die Aussage I ist falsch, weil zB f(x=3)=1 gilt und somit \(f\left( x \right) > 3\) nicht erfüllt ist.
- Die Aussage II ist falsch, weil zB f(x=5)=1,5 gilt wodurch das Intervall \(f\left( x \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) verletzt wird.
- Die Aussage III ist richtig, weil alle \(f\left( x \right) \in \left[ {0;3} \right]\)sind.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Für alle reellen Werte \(x \in \left[ {1;5} \right]\) gilt für die Funktionswerte dieser Funktion \(f\left( x \right) \in \left[ {0;3} \right]\).
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen Aussagen einander zugeordnet wurden.