Aufgabe 1463
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Asymptotisches Verhalten
Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen.
- Aussage 1: \({f_1}\left( x \right) = \dfrac{2}{x}\)
- Aussage 2: \({f_2}\left( x \right) = {2^x}\)
- Aussage 3: \({f_3}\left( x \right) = \dfrac{x}{2}\)
- Aussage 4: \({f_4}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x}\)
- Aussage 5: \({f_5}\left( x \right) = {x^{\dfrac{1}{2}}}\)
Aufgabenstellung
Welche dieser Funktionen besitzt/besitzen eine waagrechte Asymptote? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Funktionsgleichung(en) an!
Lösungsweg
Wir beginnen zunächst mit dem Begriff Asymptote: Eine Asymptote g ist eine Funktion g(x), der sich eine andere Funktion f(x) im Unendlichen (im Positiven oder im Negativen) unendlich annähert (also \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,f(x) - g(x) = 0\) bzw. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,f(x) - g(x) = 0\) ). Laut Angabe sollen wir nach einer waagrechten Asymptote g(x) der 5 gegebenen Funktionen f(x), also nach einer konstanten Funktion vom Typ \(y = 0 \cdot x + d = d\) suchen.
Wir müssen also die Grenzwerte der 5 gegebenen Funktionen f(x) berechnen und überprüfen, ob so eine waagrechte Asymptote g(x) -also eine Parallele zur x-Achse - gefunden werden kann. Dabei reicht es aus zu zeigen, dass einer der beiden Grenzwerte endlich und somit gleich d ist.
Grenzwert bzw. Limes im Unendlichen: Der Grenzwert bzw. der Limes macht eine Aussage darüber, wie sich y=f(x) verhält, wenn die x Werte immer größer oder immer kleiner werden. Strebt die Funktion gegen einen Grenzwert so sagt man sie "konvergiert", andernfalls "divergiert" sie.
- Aussage 1: Richtig, weil für den Grenzwert der Funktion f1 wie folgt gilt:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \,{f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \,\dfrac{2}{x} = 0\) Somit besitzt f1 mit g1(x)=0 eine waagrechte Asymptote.
- Aussage 2: Richtig, weil für den Grenzwert der Funktion f2 wie folgt gilt:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,{f_2}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,{2^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{2^{ - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\dfrac{1}{{{2^x}}} = 0\) Somit besitzt f2 mit g2(x)=0 eine waagrechte Asymptote.
- Aussage 3: Falsch, weil die Grenzwerte g3 der Funktion f3 nicht existieren bzw. unendlich sind: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{f_3}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\dfrac{x}{2} = \infty \) bzw. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,{f_3}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,\dfrac{x}{2} = - \infty \) Somit kann keine waagrechte Funktion g3(x) gefunden werden.
- Aussage 4: Richtig, weil für den Grenzwert der Funktion f4 wie folgt gilt: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,{f_4}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\dfrac{1}{{{2^x}}} = 0\)Somit besitzt f4 mit g4(x)=0 eine waagrechte Asymptote.
- Aussage 5: Falsch, weil die Grenzwerte der Funktion f5 nicht existieren (bzw. einer der beiden unendlich ist): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{f_5}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{x^{\frac{1}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\sqrt x = \infty \) bzw. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,{f_5}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,{x^{\dfrac{1}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,\sqrt x = \in {\Bbb C}\)ist im reellen Zahlenbereich nicht definiert, da negative Wurzeln komplexe Zahlen sind. Somit kann keine waagrechte Funktion g gefunden werden.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle 3 richtigen Funktionsgleichungen angekreuzt sind.