Aufgabe 1697
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graphen zweier Winkelfunktionen
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen
\(\eqalign{ & {f_1}:{\Bbb R} \to {\Bbb R} \cr & {f_2}:{\Bbb R} \to {\Bbb R} \cr & {f_1}\left( x \right) = {a_1} \cdot \sin \left( {{b_1} \cdot x} \right) \cr & {f_2}\left( x \right) = {a_2} \cdot \sin \left( {{b_2} \cdot x} \right) \cr & {\text{mit }}{a_1},{a_2},{b_1},{b_2} > 0 \cr} \)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Für die Parameterwerte gilt ____1_____ und _____2______ .
- Satzteil 1_1: \({a_2} < {a_1}\)
- Satzteil 1_2: \({a_1} \leqslant {a_2} \leqslant 2 \cdot {a_1}\)
- Satzteil 1_3: \({a_2} > 2 \cdot {a_1}\)
- Satzteil 2_1: \({b_2} < {b_1}\)
- Satzteil 2_2: \({b_1} \leqslant {b_2} \leqslant 2 \cdot {b_1}\)
- Satzteil 2_3: \({b_2} > 2 \cdot {b_1}\)
Lösungsweg
Wir fügen Beschriftungen in die Illustration ein:
Bei a1 bzw. a2 handelt es sich um die Amplituden, also den Maximalwert der jeweiligen Sinusfunktion. Dank des Rasters kann man die Werte direkt wie folgt ablesen:
\(\eqalign{ & {a_1} = 2 \cr & {a_2} = 3 \cr} \)
Somit können wir den Satzteil 1_2 auswählen, gemäß:
- Satzteil 1_1: \({a_1} = 2 < {a_2} = 3 \ne {a_2} < {a_1}\)
- Satzteil 1_2: \({a_1} = 2 < {a_2} = 3 \buildrel \wedge \over = {a_1} \le {a_2} \le 2 \cdot {a_1} \buildrel \wedge \over = 2 \le 3 \le 2 \cdot 2\)
- Satzteil 1_3: \({a_1} = 2 < {a_2} = 3 \ne {a_2} > 2 \cdot {a_1}\)
Bei b1 und b2 handelt es sich um ein Maß für die Frequenz. Dank des Rasters sehen wir, dass die Funktion f1 nach 8 Zeiteinheiten 2 volle Perioden durchlaufen hat, während die Funktion f2 nach 8 Zeiteinheiten bereits 3 volle Perioden durchlaufen hat und daher die höherfrequente Funktion ist.
\(\begin{array}{l} {b_1} = 2 = {a_1}\\ {b_2} = 3 = {a_2} \end{array}\)
Für den Satzteil 2 muss daher das selbe gelten wie für Satzteil 1. Die mittlere Lösung ist die richtige Lösung.
→ Für die Parameterwerte gilt \({a_1} \le {a_2} \le 2 \cdot {a_1}\) und \({b_1} \le {b_2} \le 2 \cdot {b_1}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Für die Parameterwerte gilt \({a_1} \le {a_2} \le 2 \cdot {a_1}\) und \({b_1} \le {b_2} \le 2 \cdot {b_1}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist. Ist nur für eine der beiden Lücken der richtige Satzteil angekreuzt, ist ein halber Punkt zu geben.