Aufgabe 1716
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Funktion
Gegeben ist eine quadratische Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c{\text{ wobei }}a,b,c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \ne 0\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.
Wenn ____1____ gilt, so hat die Funktion f auf jeden Fall ____2____ .
- Satzteil 1_1: a<0
- Satzteil 1_2: b=0
- Satzteil 1_3: c>0
- Satzteil 2_1: einen zur senkrechten Achse symmetrischen Graphen
- Satzteil 2_2: zwei reelle Nullstellen
- Satzteil 2_3: ein lokales Minimum
Lösungsweg
Gegeben ist eine quadratische Funktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) , deren Graph grundsätzlich eine Parabel ist.
- \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}{\text{ mit b = c = 0}}\) ist die einfachste Form der quadratischen Gleichung. Diese Parabel ist, abhängig vom Vorzeichen von a, entweder nach oben offen (a>0) oder nach unten offen (a<0). Ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung und sie ist symmetrisch zur senkrechten y-Achse.
- Addiert man zur obigen einfachsten Form der Parabel noch ein konstantes Glied c hinzu,
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + c{\text{ mit b = 0}}\)
so verschiebt sich jeder Punkt der Parabel ausschließlich in Richtung der y-Achse. D.h. die Symmetrie zur y-Achse bleibt erhalten.
→ Wenn b=0 gilt, so hat die Funktion f auf jeden Fall einen zur senkrechten Achse symmetrischen Graphen .
Wir prüfen noch die Alternativen:
- Wenn a negativ ist, dann ist die Parabel nach unten offen, und der Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt. Das passt zu keinem Satzteil 2.
- Wenn c positiv ist, dann wird die Parabel, so wie sie auch immer sein mag um c in Richtung der y-Achse verschoben. Das passt zu keinem Satzteil 2.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Wenn b=0 gilt, so hat die Funktion f auf jeden Fall einen zur senkrechten Achse symmetrischen Graphen .
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.