Aufgabe 1721
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Periodenlänge
Gegeben ist die Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \sin \left( {\dfrac{{3 \cdot \pi }}{4} \cdot x} \right)\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Länge der (kleinsten) Periode p der Funktion f .
p = ___
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Für den Verlauf einer Schwingung sind folgende Parameter relevant:
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x + c} \right) + d\)
- Der Faktor \(a = \dfrac{1}{3}\) bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
- Der Faktor \(b = \dfrac{{3 \cdot \pi }}{4}\) bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
- c=d=0
Da uns die Amplitude in diesem Beispiel nicht interessiert, sehen wir uns den Faktor b wie folgt an:
Variante 1:
Mit Hilfe von Geogebra können wir die Funktion zeichnen und sehen, dass das Resultat im Intervall \(\left[ {2,6;2,7} \right]\) liegen muss.
Variante 2:
Die Periodenlänge einer Schwingung ergibt sich zu \(p = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{b}\) . In diesem Beispiel gilt: \(b = \dfrac{{3 \cdot \pi }}{4}\). Durch Einsetzen von b in die Gleichung für p erhalten wir die gesuchte Lösung zu:
\(p = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{b} = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{{\frac{{3 \cdot \pi }}{4}}} = \dfrac{{4 \cdot 2 \cdot \pi }}{{3 \cdot \pi }} = \dfrac{8}{3}\)
Variante 3:
Bei einer reinen Sinusschwingung beträgt die Periodendauer \(360^\circ {\text{ bzw}}{\text{. }}2\pi \).
Bei der gegebenen Sinusschwingung beträgt die Periodendauer \(\dfrac{{3 \cdot \pi }}{4}{\text{ bzw}}{\text{. }}\dfrac{{3 \cdot 180^\circ }}{4} = 135^\circ \).
Nun setzen wir die reine Sinusschwingung ins Verhältnis zur gegebenen Sinusschwingung und erhalten durch dreifaches Kürzen und etwas Kopfrechnen ebenfalls: \(p = \dfrac{{360^\circ }}{{135^\circ }} = \dfrac{{72}}{{27}} = \dfrac{{24}}{9} = \dfrac{8}{3}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(p = \dfrac{8}{3} \approx 2,667\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [2,6; 2,7]