Aufgabe 11267
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Glücksrad
Bei einem Gewinnspiel wird ein Glücksrad gedreht, das in 24 gleich große Sektoren unterteilt ist. Zwei der Sektoren sind grün, alle anderen rot.
Für jede Drehung gilt:
- Der Zeiger des Glücksrads zeigt auf jeden Sektor mit der gleichen Wahrscheinlichkeit.
- Zeigt der Zeiger nach der Drehung auf einen grünen Sektor, gewinnt man einen Preis.
- Zeigt der Zeiger nach der Drehung auf einen roten Sektor, gewinnt man keinen Preis.
Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Die Ergebnisse der Drehungen sind voneinander unabhängig.
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den Erwartungswert für die Anzahl der gewonnenen Preise in Abhängigkeit von n an.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Für das einzelne Laplace Experiment gilt:
- Es gibt 24 Sektoren und somit 24 mögliche Ausgänge.
- Es gibt 2 grüne Sektoren und somit 2 günstige Ausgänge
\(P\left( E \right) = \dfrac{2}{{24}} = \dfrac{1}{{12}}\)
Da das Laplace Experiment n-mal wiederholt wird, liegt eine Binomialverteilung vor. Für den Erwartungswert der Binomialverteilung gilt:
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)
Somit:
\(E\left( X \right) = n \cdot \dfrac{1}{{12}}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(E\left( X \right) = n \cdot \dfrac{1}{{12}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Erwartungswerts.