Aufgabe 1294
AHS - 1_294 & Lehrstoff: WS 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schülerarbeit
Die Spinde einer Schule werden mit Vorhängeschlössern gesichert, die im Eigentum der Schüler/innen stehen. Erfahrungsgemäß müssen 5 % aller Spindschlösser innerhalb eines Jahres aufgebrochen werden, weil die Schlüssel verloren wurden. Ein Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb eines Jahres von 200 Schlössern mindestens zwölf aufgebrochen werden müssen. Die nachstehenden Aufzeichnungen zeigen seine Vorgehensweise:
\(P\left( {x \geqslant 12} \right)\) … Berechnung bzw. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit zu umständlich!
\(\eqalign{ & \mu = 200 \cdot 0,05 = 10 \cr & \sigma = \sqrt {200 - 0,05 \cdot 0,95} \approx 3,08\,\,\, > \,\,\,3 \cr & z = \frac{{x - \mu }}{\sigma } = \frac{{11,5 - 10}}{\sigma } \approx 0,49 \cr & \phi \left( {0,49} \right) = 0,6879 \cr & \Rightarrow P\left( {x \geqslant 12} \right) \cong 1 - 0,6879 \cong 0,3121 \cr & \Rightarrow Zu \approx 31\% \cr} \)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Bei der Anzahl der Schlösser, die aufgebrochen werden müssen, handelt es sich um eine _____1_____ , und _____2_____ .
1 | |
gleichverteilte Zufallsvariable | A |
binomialverteilte Zufallsvariable | B |
normalverteilte Zufallsvariable | C |
2 | |
der Schüler rechnet mit der Normalverteilung, obwohl es nicht zulässig ist | I |
der Schüler verwechselt den Mittelwert mit dem Erwartungswert, also ist die Aufgabe deshalb nicht richtig gelöst | II |
der Schüler rechnet zulässigerweise mit der Normalverteilung | III |
Lösungsweg
- Aussage A: Falsch, weil sich nicht um eine gleichverteilte Zufallsvariable handelt, da die Wahrscheinlichkeit für \({p_{{\text{knacken}}}} \ne {p_{{\text{nicht knacken}}}} \ne 0,5\) ist.
- Aussage B: Richtig, weil das Ereignis diskret ist und die Ereignisse unabhängig von einander sind. Für jedes Schloss besteht die gleiche Wahrscheinlichkeit dass der zugehörige Schlüssel verloren geht, unabhängig von den Schlüsseln der anderen Schlösser.
- Aussage C: Falsch, weil eine normalverteilge Zufallsvarialbe muss kontinuierlich sein, während es sich hier um diskrete Zufallsvarialbe handelt.
- Aussage I: Falsch, weil es zulässig ist, für \(\sigma > 3\) die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung zu approximieren.
- Aussage II: Falsch, weil der Erwartungswert der im Mittel zu knackenden Schlösser entspricht
- Aussage III: Richtig, weil es zulässig ist, für \(\sigma > 3\) die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung zu approximieren.
→ Bei der Anzahl der Schlösser, die aufgebrochen werden müssen, handelt es sich um eine binomialverteilte Zufallsvariable , und der Schüler rechnet zulässigerweise mit der Normalverteilung.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Bei der Anzahl der Schlösser, die aufgebrochen werden müssen, handelt es sich um eine binomialverteilte Zufallsvariable , und der Schüler rechnet zulässigerweise mit der Normalverteilung.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.