Standardnormalverteilung
Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung und hat den Erwartungswert \(\mu\) und die Varianz \(\sigma ^2\) als Parameter. Da die Normalverteilung nur aufwändig zu berechnen ist, hat man sie standardisiert und in Tabellenform gebracht, wobei man den Mittelwert \(\mu = 0\) und die Standardabweichung \(\sigma = 1\) gesetzt hat. Hat eine Zufallsvarialbe X eine Normalverteilung mit beliebigen \(\mu\) und \(\sigma\) , so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(Z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\)in eine Standardnormalverteilung umrechnen.
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Formeln
Standardnormalverteilung
Die Normalverteilung oder gaußsche Verteilung ist eine stetige Verteilung und hat den Erwartungswert μ und die Varianz ,σ2 als Parameter. Da die Normalverteilung nur aufwändig zu berechnen ist, hat man sie standardisiert und in Tabellenform gebracht, wobei man den Mittelwert \(\mu = 0\) und die Standardabweichung \(\sigma = 1\) gesetzt hat. Hat eine Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit beliebigen \(\mu\) und \(\sigma\) , so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(Z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\)in eine Standardnormalverteilung umrechnen. Man nennt diese Umrechnung auch z-Transformation. Mit Hilfe der z-Transformation kann jede Normalverteilung standardisiert werden und dadurch viel einfacher (mit Hilfe einer Tabelle) berechnet werden.
- Um bei der Verteilungsfunktion Verwechslungen mit der Normalverteilung zu vermeiden, verwendet man für die Standardnormalverteilung die Bezeichnung \(\Phi \left( z \right)\), statt F(x).
- Um bei der Dichtefunktion Verwechslungen mit der Normalverteilung zu vermeiden, verwendet man für die Standardnormalverteilung die Bezeichnung \(\varphi \left( x \right)\) , statt f(x).
Bei um den Erwartungswert symmetrischen Intervallen gilt folgender Zusammenhang:
\(P\left( { - z \leqslant Z \leqslant z} \right) = 2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1\)
\(P\left( { - z \leqslant Z \leqslant z} \right)\) | =90% | =95% | =99% |
z | \( \approx 1,645\) | \( \approx 1,960\) | \( \approx 2,576\) |
Dichtefunktion der Standard Normalverteilung
\(\varphi \left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {2\pi } }} \cdot {e^{ - \dfrac{{{x^2}}}{2}}}\)
Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung
Die Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung entspricht dem Integral über die Dichtefunktion
\(\begin{array}{l} \Phi \left( z \right) = P\left( {Z \le z} \right) = \int\limits_{ - \infty }^z {\varphi \left( x \right)} \,\,dx = \dfrac{2}{{\sqrt {2\pi } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^z {{e^{ - \dfrac{{{x^2}}}{2}}}} \,\,dx\\ \Phi \left( { - z} \right) = 1 + \Phi \left( z \right) \end{array}\)
Für den Graph der gaußschen Glockenkurve gilt:
- die Funktion nimmt nur positive Werte an \(p\left( x \right) > 0\) , wird aber für \(x < \mu - 3\sigma \) und \(x > \mu + 3\sigma\) "fast null und sie hat daher an der Basis eine "sichtbar" Breite von \(6\sigma \)
- hat \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)\,\,dx = 1}\) als Flächeninhalt mit der x-Achse
- je kleiner die Streuung \(\sigma\) umso schmäler und höher ist die Glockenkurve, je größer die Streuung \(\sigma\) um so breiter und flacher ist die Glockenkurve
- hat einen Sattelpunkt an der Stelle \(x = \mu\)
- hat zwei Wendepunkte an den Stellen \(x = \mu \pm \sigma\)
- hat die x-Achse als Asymptote
- ist symmetrisch bezüglich der Geraden \(x = \mu\)
- die Wahrscheinlichkeit dass eine Messung exakt einen Wert a auf der Glockenkurve annimmt ist immer Null. Man erhält nur Aussagen für Intervalle, d.h. man muss eine Messungenauigkeit, einen absoluten Fehler \(\left| {\Delta x} \right|\) mit einbeziehen \(P\left( {a - \left| {\Delta x} \right| \leqslant x \leqslant a + \left| {\Delta x} \right|} \right)\)
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Aufgaben
Aufgabe 1294
AHS - 1_294 & Lehrstoff: WS 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schülerarbeit
Die Spinde einer Schule werden mit Vorhängeschlössern gesichert, die im Eigentum der Schüler/innen stehen. Erfahrungsgemäß müssen 5 % aller Spindschlösser innerhalb eines Jahres aufgebrochen werden, weil die Schlüssel verloren wurden. Ein Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb eines Jahres von 200 Schlössern mindestens zwölf aufgebrochen werden müssen. Die nachstehenden Aufzeichnungen zeigen seine Vorgehensweise:
\(P\left( {x \geqslant 12} \right)\) … Berechnung bzw. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit zu umständlich!
\(\eqalign{ & \mu = 200 \cdot 0,05 = 10 \cr & \sigma = \sqrt {200 - 0,05 \cdot 0,95} \approx 3,08\,\,\, > \,\,\,3 \cr & z = \frac{{x - \mu }}{\sigma } = \frac{{11,5 - 10}}{\sigma } \approx 0,49 \cr & \phi \left( {0,49} \right) = 0,6879 \cr & \Rightarrow P\left( {x \geqslant 12} \right) \cong 1 - 0,6879 \cong 0,3121 \cr & \Rightarrow Zu \approx 31\% \cr} \)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Bei der Anzahl der Schlösser, die aufgebrochen werden müssen, handelt es sich um eine _____1_____ , und _____2_____ .
1 | |
gleichverteilte Zufallsvariable | A |
binomialverteilte Zufallsvariable | B |
normalverteilte Zufallsvariable | C |
2 | |
der Schüler rechnet mit der Normalverteilung, obwohl es nicht zulässig ist | I |
der Schüler verwechselt den Mittelwert mit dem Erwartungswert, also ist die Aufgabe deshalb nicht richtig gelöst | II |
der Schüler rechnet zulässigerweise mit der Normalverteilung | III |
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Aufgabe 1319
AHS - 1_319 & Lehrstoff: WS 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benutzung des Autos
Einer Veröffentlichung der Statistik Austria kann man entnehmen, dass von den über 15-Jährigen Österreicherinnen und Österreichern ca. 38,6 % täglich das Auto benutzen (als Lenker/in oder als Mitfahrer/in).
Quelle: Statistik Austria (Hrsg.) (2013). Umweltbedingungen, Umweltverhalten 2011. Ergebnisse des Mikrozensus. Wien: Statistik Austria. S. 95.
Aufgabenstellung
Es werden 500 über 15-jährige Österreicher/innen zufällig ausgewählt. Geben Sie für die Anzahl derjenigen Personen, die täglich das Auto (als Lenker/in oder als Mitfahrer/in) benutzen, näherungsweise ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall mit 95%iger Wahrscheinlichkeit an!
Aufgabe 1494
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
500-Euro-Scheine in Österreich
Bei einer repräsentativen Umfrage in Österreich geht es um die in Diskussion stehende Abschaffung der 500-Euro-Scheine. Es sprechen sich 234 von 1 000 Befragten für eine Abschaffung aus.
Aufgabenstellung:
Geben Sie ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den relativen Anteil der Österreicherinnen und Österreicher, die eine Abschaffung der 500-Euro-Scheine in Österreich befürworten, an!
Aufgabe 1518
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutgruppe
In Europa beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit Blutgruppe B geboren zu werden, ca. 0,14. Für eine Untersuchung wurden n in Europa geborene Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Personen mit Blutgruppe B. Die Verteilung von X kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, deren Dichtefunktion in der nachstehenden Abbildung dargestellt ist.
Aufgabenstellung:
Schätzen Sie anhand der obigen Abbildung den Stichprobenumfang n dieser Untersuchung!
n ≈