Aufgabe 1518
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutgruppe
In Europa beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit Blutgruppe B geboren zu werden, ca. 0,14. Für eine Untersuchung wurden n in Europa geborene Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Personen mit Blutgruppe B. Die Verteilung von X kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, deren Dichtefunktion in der nachstehenden Abbildung dargestellt ist.
Aufgabenstellung:
Schätzen Sie anhand der obigen Abbildung den Stichprobenumfang n dieser Untersuchung!
n ≈
Lösungsweg
Nachdem die Verteilung von X durch die gegebene Normalverteilung approximiert werden kann, können wir von dieser den Erwartungswert von \(\varphi \) wie folgt ablesen: \(\mu = E(\varphi ) = 56\)
Dieser Wert beschreibt den zu erwartenden Wert nach der Durchführung eines Zufallsexperimentes. In anderen Worten beschreibt dieser Wert, wie viele Personen mit Blutgruppe B zu erwarten sind. In unserem Fall ist zu erwarten, dass 56 Personen die Blutgruppe B haben. Nachdem allerdings lediglich eine Wahrscheinlichkeit von ca. 0,14 besteht, Blutgruppe B zu haben, so müssen diese 56 Personen etwa ein 0,14-faches des Stichprobenumfanges n sein. Das heißt: \(56 \approx 0,14 \cdot n\)
Aus dem Graphen lesen wir ab: \(\mu = E(\varphi ) = 56\)
In der durch den Graphen gegebenen Stichprobe haben 56 Personen die Blutgruppe B. Diese 56 Personen (Absolutwert) machen laut Angabe gleichzeitig 14% der Bevölkerung / der Stichprobe (Relativwert) aus.
\(\eqalign{ & 56 \approx 0,14 \cdot n \cr & n \approx \dfrac{{56}}{{0,14}} = 400 \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(n \approx 400\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [385; 415]