Aufgabe 1399
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erwartungswert des Gewinns
Bei einem Gewinnspiel gibt es 100 Lose. Der Lospreis beträgt € 5. Für den Haupttreffer werden € 100 ausgezahlt, für zwei weitere Treffer werden je € 50 ausgezahlt und für fünf weitere Treffer werden je € 20 ausgezahlt. Für alle weiteren Lose wird nichts ausgezahlt. Unter Gewinn versteht man Auszahlung minus Lospreis.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns aus der Sicht einer Person, die ein Los kauft!
Lösungsweg
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X, welche die diskreten Werte x1, x2, ..., xn mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X=x1), P(X=x2), ... P(X=xn) annimmt, errechnet sich aus der Summe der Produkte vom jeweiligen Wert xi und seiner Wahrscheinlichkeit P(X=xi).
\(E\left( X \right) = \mu = {x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right) + {x_2} \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) + ... + {x_n} \cdot P\left( {X = {x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right)} \)
Erstellen wir eine Tabelle:
Anzahl der Lose | Wahrscheinlichkeit P(X=xi) | Auszahlung | Gewinn = Auszahlung - Lospreis (5€) |
1 | \(\dfrac{1}{{100}}\) | 100€ | 100€-5€=95€ |
2 | \(\dfrac{2}{{100}}\) | 50€ | 50€-5€=45€ |
5 | \(\dfrac{5}{{100}}\) | 20€ | 20€-5€=15€ |
100-1-2-5=92 | \(\dfrac{92}{{100}}\) | 0€ | 0€-5=-5 |
Wir setzen in die Formel für den Erwartungswert wie folgt ein und errechnen:
\(E\left( X \right) = 95 \cdot \dfrac{1}{{100}} + 45 \cdot \dfrac{2}{{100}} + 15 \cdot \dfrac{5}{{100}} + \left( { - 5} \right) \cdot \dfrac{{92}}{{100}} = - 2\mbox{€}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Erwartungswert des Gewinns beträgt € –2.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit Euro nicht angeführt werden muss. Der Wert E = 2 ist nur dann als richtig zu werten, wenn aus der Antwort klar hervorgeht, dass es sich dabei um einen Verlust von € 2 aus Sicht der Person, die ein Los kauft, handelt. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.