Aufgabe 1447
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erwartungswert
Die nachstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X, die die Werte k = 1, 2, 3, 4, 5 annehmen kann.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Erwartungswert E(X)!
Lösungsweg
Für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x1, x2, ..., xk - z.B. eine binomialverteilte Zufallsvariable gilt:
\(E(X) = \mu = \sum\limits_{i = 1}^k {{x_i} \cdot P(X = {x_i})} = \sum\limits_{i = 1}^k {{x_i} \cdot f\left( x \right)} \)
- Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch die selbe (z.B. bei binomialverteilten Experimenten), dann ist der Erwartungswert gleich dem arithmetischen Mittel.
- Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch unterschiedlich, dann ist der Erwartungswert gemäß obiger Formel ein gewichtetes arithmetisches Mittel.
Der Erwartungswert E(X) beschreibt jene Zahl, die die Zufallsvariable X im Mittel annimmt. Würden wir also das Zufallsexperiment unendlich oft wiederholen, so würden wir im Durchschnitt das Ergebnis E(X) erhalten.
Zur Berechnung des Erwartungswertes E(X) werden die möglichen Ausgänge mit ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit gewichtet: \(E\left( X \right) = 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) + 4 \cdot P(X = 4) + 5 \cdot P(X = 5)\). Wir müssen schließlich nur noch die Wahrscheinlichkeiten P(X) richtig aus der Graphik ablesen und in die Formel einsetzen...
Anmerkung: Wären - was in unserem Beispiel aber nicht der Fall ist - die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten alle gleich groß, also: \(P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = \dfrac{1}{5}\), dann beschreibt E(X) das arithmetische Mittel: \(E\left( X \right) = \dfrac{{1 + 2 + 3 + 4 + 5}}{5} = \dfrac{{15}}{5} = 3\)
Gemäß obigen Überlegungen setzen wir wie folgt ein:
\(\eqalign{ & E\left( X \right) = 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) + 4 \cdot P(X = 4) + 5 \cdot P(X = 5) \cr & E\left( X \right) = 1 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,1 + 5 \cdot 0,1 = 2,8 \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(E\left( X \right) = 2,8\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [2,65; 2,95]
Ein Punkt für die richtige Lösung.