Aufgabe 1471

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Verschiedenfärbige Kugeln

Auf einem Tisch steht eine Schachtel mit drei roten und zwölf schwarzen Kugeln. Nach dem Zufallsprinzip werden nacheinander drei Kugeln aus der Schachtel gezogen, wobei die gezogene Kugel jeweils wieder zurückgelegt wird.

  • Aussage 1: Es wird höchstens eine schwarze Kugel gezogen.
  • Aussage 2: Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen.
  • Aussage 3: Es werden zwei rote Kugeln und eine schwarze Kugel gezogen.
  • Aussage 4: Es werden nur rote Kugeln gezogen.
  • Aussage 5: Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.
  • Aussage 6: Es wird keine rote Kugel gezogen

Aufgabenstellung:
Gegeben ist der folgende Ausdruck: \(3 \cdot {0,8^2} \cdot 0,2\)
Kreuzen Sie dasjenige Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch diesen Ausdruck berechnet wird!

Lösungsweg

3-faches Ziehen mit Zurücklegen, wobei die Reihenfolge egal ist

  • 15 Kugeln
  • 3 rote Kugeln
  • 12 schwarze Kugeln
  • 3 Mal wird gezogen, mit Zurücklegen

Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke A, C Strecke h Strecke h: Strecke B, D Strecke i Strecke i: Strecke B, E Strecke j Strecke j: Strecke C, F Strecke k Strecke k: Strecke C, G Strecke l Strecke l: Strecke D, H Strecke m Strecke m: Strecke D, I Strecke n Strecke n: Strecke E, J Strecke p Strecke p: Strecke E, K Strecke q Strecke q: Strecke F, L Strecke r Strecke r: Strecke F, M Strecke s Strecke s: Strecke G, N Strecke t Strecke t: Strecke G, O Strecke a Strecke a: Strecke P, Q Punkt A A = (12.5, 14) Punkt A A = (12.5, 14) Punkt B B = (10, 12) Punkt B B = (10, 12) Punkt C C = (15, 12) Punkt C C = (15, 12) Punkt D D = (8.5, 10) Punkt D D = (8.5, 10) Punkt E E = (11.5, 10) Punkt E E = (11.5, 10) Punkt F F = (13.5, 10) Punkt F F = (13.5, 10) Punkt G G = (16.5, 10) Punkt G G = (16.5, 10) Punkt H H = (8, 8) Punkt H H = (8, 8) Punkt I I = (9, 8) Punkt I I = (9, 8) Punkt J J = (11, 8) Punkt J J = (11, 8) Punkt K K = (12, 8) Punkt K K = (12, 8) Punkt L L = (13, 8) Punkt L L = (13, 8) Punkt M M = (14, 8) Punkt M M = (14, 8) Punkt N N = (16, 8) Punkt N N = (16, 8) Punkt O O = (17, 8) Punkt O O = (17, 8) gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 text1 = “gesuchter Pfad: 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2” \frac{12}{15}=0,8 text3 = “\frac{12}{15}=0,8” \frac{12}{15}=0,8 text3 = “\frac{12}{15}=0,8” \frac{12}{15}=0,8 text3 = “\frac{12}{15}=0,8” \frac{12}{15}=0,8 text3 = “\frac{12}{15}=0,8” \frac{12}{15}=0,8 text3 = “\frac{12}{15}=0,8” \frac{12}{15}=0,8 text3 = “\frac{12}{15}=0,8” \frac{12}{15}=0,8 text3 = “\frac{12}{15}=0,8” \frac{12}{15}=0,8 text3 = “\frac{12}{15}=0,8” \frac{12}{15}=0,8 text3 = “\frac{12}{15}=0,8” \frac{3}{15}=0,2 text5 = “\frac{3}{15}=0,2” \frac{3}{15}=0,2 text5 = “\frac{3}{15}=0,2” \frac{3}{15}=0,2 text5 = “\frac{3}{15}=0,2” \frac{3}{15}=0,2 text5 = “\frac{3}{15}=0,2” \frac{3}{15}=0,2 text5 = “\frac{3}{15}=0,2” \frac{3}{15}=0,2 text5 = “\frac{3}{15}=0,2” \frac{3}{15}=0,2 text5 = “\frac{3}{15}=0,2” \frac{3}{15}=0,2 text5 = “\frac{3}{15}=0,2” 0,8 text4 = “0,8” 0,8 text4 = “0,8” 0,8 text4 = “0,8” 0,2 text6 = “0,2” 0,2 text6 = “0,2” 0,2 text6 = “0,2” 0,2 text7 = “0,2” 0,2 text7 = “0,2” 0,2 text7 = “0,2” 0,8 text8 = “0,8” 0,8 text8 = “0,8” 0,8 text8 = “0,8” 0,8 text9 = “0,8” 0,8 text9 = “0,8” 0,8 text9 = “0,8” 0,2 text10 = “0,2” 0,2 text10 = “0,2” 0,2 text10 = “0,2” 0,8 text11 = “0,8” 0,8 text11 = “0,8” 0,8 text11 = “0,8” 0,8 text12 = “0,8” 0,8 text12 = “0,8” 0,8 text12 = “0,8” 0,2 text13 = “0,2” 0,2 text13 = “0,2” 0,2 text13 = “0,2” 0,2 text14 = “0,2” 0,2 text14 = “0,2” 0,2 text14 = “0,2” 0,8 text15 = “0,8” 0,8 text15 = “0,8” 0,8 text15 = “0,8” 0,2 text16 = “0,2” 0,2 text16 = “0,2” 0,2 text16 = “0,2” S Text1 = “S” R Text2 = “R” S Text3 = “S” R Text4 = “R” S Text5 = “S” R Text6 = “R” S Text7 = “S” R Text8 = “R” S Text9 = “S” R Text10 = “R” S Text11 = “S” R Text12 = “R” S Text13 = “S” R Text14 = “R”

\(\eqalign{ & P\left( {{\text{rote Kugel}}} \right) = \dfrac{3}{{15}} = 0,2 \cr & P\left( {{\text{schwarze Kugel}}} \right) = \dfrac{{12}}{{15}} = 0,8 \cr} \)

Wir analysieren den gegebenen Ausdruck:

\(3 \cdot {0,8^2} \cdot 0,2 = 3 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2\)

  • der 3-er stammt vom 3-maligem Ziehen
  • die \(0,8 \cdot 0,8\) weisen darauf hin, dass 2 schwarze Kugeln gezogen wurden
  • die \(0,2\) weist darauf hin, dass 1 rote Kugel gezogen wurde
  • Aussage 1: Falsch, es wurden 2 schwarze Kugeln gezogen
  • Aussage 2: Richtig, weil eben genau 2 schwarze Kugeln (und nicht etwa 1 oder 3 schwarze Kugeln) gezogen wurden
  • Aussage 3: Falsch, weil nur 1 rote Kugel gezogen wurde
  • Aussage 4: Falsch, weil auch 2 schwarze Kugeln gezogen wurden
  • Aussage 5: Falsch, weil "mindestens" eine rote Kugel würde auch zulassen, dass 2 oder 3 rote Kugeln gezogen wurden
  • Aussage 6: Falsch, weil eine rote Kugel gezogen wurde

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

  • Aussage 1: Falsch
  • Aussage 2: Richtig
  • Aussage 3: Falsch
  • Aussage 4: Falsch
  • Aussage 5: Falsch
  • Aussage 6: Falsch

Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die richtige Aussage angekreuzt ist.