Aufgabe 1472
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Der Wertebereich einer Zufallsvariablen X besteht aus den Werten \({x_1},{x_2},{x_3}\). Man kennt die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X = {x_1}} \right) = 0,4\). Außerdem weiß man, dass x3 doppelt so wahrscheinlich wie x2 ist.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie \(P\left( {X = {x_2}} \right){\text{ und P}}\left( {X = {x_3}} \right)\)!
Lösungsweg
Dieses Beispiel hat mit Wahrscheinlichkeitsrechnung nur vordergründig zu tun, denn tatsächlich geht es darum, 3 Gleichungen für 3 Variable aufzustellen und zu lösen ...
Wir benötigen 3 Gleichungen für 3 Variablen:
\(\begin{array}{l} P\left( {X = {x_1}} \right) + P\left( {X = {x_2}} \right) + P\left( {X = {x_3}} \right) = 1\\ P\left( {X = {x_1}} \right) = 0,4\\ P\left( {X = {x_3}} \right) = 2 \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) \end{array}\)
wir setzen die beiden unteren Gleichungen in die oberste Gleichung ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} 0,4 + P\left( {X = {x_2}} \right) + 2 \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) = 1\\ 0,4 + 3 \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) = 1 \end{array}\)
wir haben somit eine Gleichung in einer Unbekannten und müssen nur mehr \(P\left( {X = {x_2}} \right)\) explizit machen:
\(\begin{array}{l} 3 \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) = 0,6\\ P\left( {X = {x_2}} \right) = 0,2 \end{array}\)
womit wir uns auch die 3. Wahrscheinlichkeit durch einsetzen ausrechnen können:
\(P\left( {X = {x_3}} \right) = 2 \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) = 2 \cdot 0,2 = 0,4\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & P\left( {X = {x_2}} \right) = 0,2 \cr & P\left( {X = {x_3}} \right) = 0,4 \cr} \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der korrekten Werte beider Wahrscheinlichkeiten. Andere Schreibweisen der Ergebnisse (als Bruch oder in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.