Aufgabe 1588
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reifen
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Autoreifen einer bestimmten Marke innerhalb der ersten 10 000 Kilometer Fahrt durch einen Materialfehler defekt wird, liegt bei p %. Eine Zufallsstichprobe von 80 neuen Reifen dieser Marke wird getestet.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Ausdruck an, mit dem man die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer dieser Reifen innerhalb der ersten 10 000 Kilometer Fahrt durch einen Materialfehler defekt wird, berechnen kann!
Lösungsweg
Es handelt sich um eine Binomialverteilung.Das ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Reifen defekt oder nicht defekt.
- n=80, weil die Stichprobe 80 neue Reifen umfasst
- mindestens ein defekter Reifen von 80 getesteten Reifen bedeutet: k=1, 2, ..79, 80
- p in % ist bekannt, wir benötigen aber p als Dezimalzahl und bedienen uns der folgenden Umrechnung: p=p%/100
Wir könnten nun 80 Einzelwahrscheinlichkeiten für k=1, 2, ..79, 80 gemäß \(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\) aufsummieren, oder wir arbeiten mit der Gegenwahrscheinlichkeit:
\(\begin{array}{l} P(X \ge 1) = 1 - P\left( {X = 0} \right) = 1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {80}\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{{p\% }}{{100}}} \right)^0} \cdot {\left( {1 - \dfrac{{p\% }}{{100}}} \right)^{80 - 0}} = 1 - {\left( {1 - \dfrac{{p\% }}{{100}}} \right)^{80}}\\ P(X \ge 1) = 1 - {\left( {1 - \dfrac{{p\% }}{{100}}} \right)^{80}} \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P(X \ge 1) = 1 - {\left( {1 - \dfrac{{p\% }}{{100}}} \right)^{80}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten Ausdruck. Äquivalente Ausdrücke sind als richtig zu werten.