Aufgabe 1636
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Massenproduktion
Bei der Massenproduktion eines bestimmten Produkts werden Packungen zu 100 Stück erzeugt. In einer solchen Packung ist jedes einzelne Stück (unabhängig von den anderen) mit einer Wahrscheinlichkeit von 6 % mangelhaft.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit in dieser Packung höchstens zwei mangelhafte Stücke zu finden sind!
Lösungsweg
Es handelt sich um eine Binomialverteilung.Das ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Stück ist mangelhaft, oder Stück ist nicht mangelhaft.
- n=100 weil sich 100 Stück in der Testpackung befinden
- \(p = \dfrac{{6\% }}{{100\% }} = 0,06\) weil jedes Stück mit 6% mangelhaft sein kann
- höchstens 2 mangelhafte Stück bedeutet k=0, 1 oder 2
Die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet sich aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten wie folgt:
\(P\left( {X \le 2} \right) = P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right)\)
Die Formel für "genau k Treffer" lautet:
\(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\)
somit
\(\begin{array}{l} P(X = 0) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {100}\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {0,06^0} \cdot {\left( {1 - 0,06} \right)^{100}} \approx 0,0021\\ P(X = 1) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {100}\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,06^1} \cdot {\left( {1 - 0,06} \right)^{99}} \approx 0,0131\\ P\left( {X = 2} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {100}\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,06^2} \cdot {\left( {1 - 0,06} \right)^{98}} = 0,0566\\ \\ P\left( {X \le 2} \right) = P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) \approx \\ 0,0021 + 0,0131 + 0,0566 \approx 0,0566 \buildrel \wedge \over = 5,6\% \end{array}\)
→ Die Wahrscheinlichkeit dafür in der Testpackung höchstens 2 mangelhafte Stück zu finden beträgt ca. 5,6%
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Wahrscheinlichkeit dafür in der Testpackung höchstens 2 mangelhafte Stück zu finden beträgt ca. 5,6%
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.