Aufgabe 1683
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Computerchips
Ein Unternehmen stellt Computerchips her. Jeder produzierte Computerchip ist unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von 97 % funktionsfähig. Das Unternehmen produziert an einem bestimmten Tag 500 Computerchips.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der funktionsfähigen Computerchips, die an diesem bestimmten Tag produziert werden!
- Erwartungswert: ___
- Standardabweichung: ____
Lösungsweg
Wir können eine Binomialverteilung zu Grunde legen, da es sich dabei um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: funktionsfähig / nicht funktionsfähig.
- n=500
- p=0,97 für Funktionsfähigkeit
Erwartungswert der Binomialverteilung:
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)
\(E\left( X \right) = 500 \cdot 0,97 = 485\)
Der Erwartungswert bedeutet, das bei dieser Fertigung im Durchschnitt 485 funktionsfähige Chips je 500 gefertigter Chips erwartet werden dürfen.
Standardabweichung der Binomialverteilung:
\(\sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
\(\sigma = \sqrt {500 \cdot 0,97 \cdot \left( {1 - 0,97} \right)} \approx 3,8144\)
Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Links und rechts vom Erwartungswert gruppieren sich die restlichen binomialverteilten Wahrscheinlichkeiten. Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie stark im Mittel die Zufallsgröße X um den Erwartungswert E streut.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Erwartungswert: 485Stück
- Standardabweichung: 3,81
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die beiden richtigen Werte.
Toleranzintervall für die Standardabweichung: [3,8; 3,82]