Aufgabe 1731
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Spielkarten
Fünf Spielkarten (drei Könige und zwei Damen) werden gemischt und verdeckt auf einen Tisch gelegt. Laura dreht während eines Spieldurchgangs nacheinander die Karten einzeln um und lässt sie aufgedeckt liegen, bis die erste Dame aufgedeckt ist.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der am Ende eines Spieldurchgangs aufgedeckten Spielkarten an.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X.
E(X) =
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
In einem Baumdiagramm gibt es insgesamt 4 Pfade, die dazu führen, dass letztlich eine Dame aufgedeckt wird.
- mit n=1 Zug: D: \(p = \dfrac{2}{5}\)
- mit n=2 Zügen: K + D: \(p = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2}\)
- mit n=3 Zügen: K + K + D: \(p = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}\)
- mit n=4 Zügen: K + K + K + D: \(p = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{2}\)
Für jeden einzelnen Pfad ist der Erwartungswert: \(E\left( X \right) = n \cdot p\) Für alle 4 Pfade müssen wir die einzelnen Erwartungswerte addieren:
\(E\left( X \right) = 1 \cdot \dfrac{2}{5} + 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} + 3 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} + 4 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{2} = 2\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(E\left( X \right) = 2\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.