Aufgabe 1826
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeiten
Die Zufallsvariable X kann ausschließlich die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Es gilt:
\(\eqalign{ & P\left( {X = 1} \right) = 0,1 \cr & P(X > 1) = 0,6 \cr} \)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
- Aussage 1: \(P\left( {X \leqslant 2} \right) = 0,3\)
- Aussage 2: \(P\left( {X < 2} \right) = 0,4\)
- Aussage 3: \(P\left( {X = 0} \right) = 0\)
- Aussage 4: \(P\left( {X \geqslant 0} \right) = 0,9\)
- Aussage 5: \(P\left( {X \geqslant 1} \right) = 0,7\)
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Laut Angabe kennen wir die Wahrscheinlichkeit von:
\(\eqalign{ & P\left( {X = 1} \right) = 0,1 \cr & P(X > 1) = 0,6 \cr} \)
Wir schreiben die 2. Gleichung wie folgt um:
\(P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,6\)
Wir benötigen noch eine Aussage zu P(X=0) die wir wie folgt erhalten:
\(\eqalign{ & P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) + P(X = 3) = 1 \cr & P\left( {X = 0} \right) + 0,1 + 0,6 = 1 \cr & P\left( {X = 0} \right) = 1 - 0,7 = 0,3 \cr} \)
P(X=2) und P(X=3) können wir nicht auftrennen, schauen wir mal ob wir mit obigem Wissen das Auslangen finden…
- Aussage 1: Falsch, weil
\(\eqalign{ & P\left( {X \leqslant 2} \right) = P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P(X = 2) = \cr & 0,3 + 0,1 + P(X = 2) = 0,4 + P(X = 2) > 0,3 \cr} \)
- Aussage 2: Richtig, weil
\(\eqalign{ & P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \cr & 0,3 + 0,1 = 0,4{\text{ wzbw}} \cr} \)
- Aussage 3: Falsch, weil
\(P\left( {X = 0} \right) = 0,3 \ne 0\)
- Aussage 4: Falsch, weil
\(P\left( {X \geqslant 0} \right) = 1 \ne 0,9\)
- Aussage 5: Richtig, weil
\(\eqalign{ & P\left( {X \geqslant 1} \right) = 1 - P\left( {X = 0} \right) = \cr & 1 - 0,3 = 0,7{\text{ wzbw}} \cr} \)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.