Aufgabe 3079
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erderwärmung
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erderwärmung
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.
Nachstehend sind für einzelne Jahre die globalen Mitteltemperaturen angeführt.
Jahr | 1900 | 1950 | 1955 | 1960 | 1965 | 1970 | 1975 | 1980 |
globale Mitteltemperatur (in °C) | 13,80 | 13,87 | 13,89 | 14,01 | 13,90 | 14,02 | 13,94 | 14,16 |
Jahr | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2010 | 2015 | |
globale Mitteltemperatur (in °C) | 14,03 | 14,37 | 14,37 | 14,31 | 14,51 | 14,55 | 14,72 |
Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:
\(T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1{\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)
Teil c
Bei der UN-Klimakonferenz in Paris im Jahr 2015 wurde eine neue internationale Klimaschutz-Vereinbarung getroffen, die die Begrenzung der Zunahme der globalen Mitteltemperatur vorsieht. Demnach dürfte die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100 höchstens 15,3 °C betragen.
Um diese Klimaschutz-Vereinbarung zu erfüllen, darf ab dem Jahr 2015 die mittlere Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur pro Jahr höchstens einen bestimmten Wert k betragen (k in °C pro Jahr).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie k.
Es wird angenommen, dass die globale Mitteltemperatur ab dem Jahr 2015 linear zunimmt und die mittlere Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur pro Jahr tatsächlich k entspricht.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie unter dieser Annahme eine Gleichung derjenigen linearen Funktion M an, die die jährliche globale Mitteltemperatur (in °C) t Jahre nach 2015 modellhaft beschreibt.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- T im Jahr 2100: 15,3°
- T im Jahr 2015: 14,72 (siehe Tabelle in der Angabe)
Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate in einem Intervall an und entspricht der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte am Graph der Funktion
\(k = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\)
Somit:
\(\eqalign{ & k = \dfrac{{15,3 - 14,72}}{{2100 - 2015}} \approx 0,00682 \cr & k \approx 0,0068 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
T im Jahr 2015: 14,72 (siehe Tabelle in der Angabe)
Wir setzen ab dem Jahr 2015 eine lineare Funktion vom Typ \(k \cdot t + d\) an
- Deren Steigung k kennen wir aus der 1. Teilaufgabe.
- Deren Wert d, also der Wert an der Stelle t=0 für die lineare Funktion ist gleich dem Wert der globalen Mitteltemperatur im Jahr 2015, den wir aus der gegebenen Tabelle mit 14,72 ablesen können.
Somit:
\(\eqalign{ & M\left( t \right) = k \cdot t + d \cr & \cr & k \approx 0,0068\, \cr & d = M\left( {t = 0} \right) = M\left( {a = 2015} \right) = 14,72 \cr & \cr & M\left( t \right) = 0,0068 \cdot t + 14,72 \cr} \)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(k \approx 0,0068\dfrac{{{\text{° C}}}}{{{\text{Jahr}}}}\)
2. Teilaufgabe
\(M\left( t \right) = 0,0068 \cdot t + 14,72\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „°C/Jahr“ nicht angegeben sein muss.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für eine richtige Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.